SH波入射下正交各向異性雙相介質界面附近圓孔的動應力集中

蘭國冠，張村峰，許華南，張劍偉

(1.龍巖學院 資源工程學院，福建 龍巖 364000；2.沈陽航空航天大學 航空航天工程學院，沈陽 110000)

隨著工程領域(如石油和天然氣勘探與開發、地球物理勘探、地震工程、定量無損檢測與探傷(NDT)等)的快速發展，對復雜缺陷與彈性波的散射問題的研究一直是彈性動力學領域內的重要課題。現有的大部分研究成果主要研究均勻且各向同性的介質模型[1-11]，而地球的實際介質性質通常是各向異性的。各向異性介質中復雜缺陷引起的位移場比較復雜，較難求解，目前這類問題的研究亦有部分成果[12-22]，但多為半空間問題，問題模型也相對簡單。目前已知的主要研究方法包括波函數展開法、復變函數法、格林函數法以及邊界元法等。

各向異性雙相介質界面附近復合缺陷的存在會引起局部應力集中，其產生的散射波場往往與缺陷的各種特征參數有關。目前，關于這一課題的理論研究成果還很薄弱，遠遠不能滿足工程實踐的理論指導要求，因此，在作者已發表文獻[23]的基礎上，采用復變函數理論并結合界面“契合”的思想，引入格林函數，給出了正交各向異性雙相介質界面附近圓孔對SH波散射問題的解析解，并討論了不同參數影響下的變化規律。

1 問題描述

圖1給出了正交各向異性雙相介質內圓孔對SH波散射問題的解析研究模型，區域Ⅰ為含圓柱形孔洞的正交各向異性半無限空間，區域Ⅱ為均勻各向同性的線彈性半空間。SH波以與水平方向呈αi的角度入射，區域Ⅰ和區域Ⅱ的質量密度和剪切模量分別為(ρ1,μ1)和(ρ2,μ2)，設孔洞半徑為R。分別建立XOY和X′O′Y′兩個直角坐標系，關系如下：

x′=x,y′=y-h

(1)

圖1 正交各向異性雙相介質內圓孔對SH波散射問題的解析研究模型Fig.1 Analytical model of SH wave scattering by a circular cavity in orthotropic biomaterials

2 Green函數

2.1 控制方程

(2)

引入以下形式的變換

(3)

(4)

相應的應力表達式為

(5)

其中，

a1=(c55+c44)(1-iγ)+(c55-c44-2ic45)(1+iγ),

c1=(c55+c44)(1+iγ)+(c55-c44+2ic45)(1-iγ),

a2=i(c55+c44)(1-iγ)+(i(c55-c44)+2ic45)(1+iγ),

c2=(i(c44-c55)+2c45)(1-iγ)-i(c55+c44)(1+iγ),

(6)

應力表達式為

(7)

2.2 Green函數G1

如圖2所示，在區域Ⅰ的水平界面上任意一點施加時間簡諧反平面線源波場，作為本文提出的第一個Green函數G1。

圖2 含圓孔的各向異性介質表面作用出平面線源載荷Fig.2 Anisotropic medium model of circular cavity impacted by an out-plane source load on surface

該問題模型的邊界條件為

(8)

(9)

圓孔的激發的散射波G(s)不僅必須滿足控制方程(4)，而且還必須滿足：①水平自由界面處的應力自由；②無窮遠處的Sommerfeld輻射條件。對應的表達式為

(10)

則總波場可表達成

(11)

(12)

其中：

對于求解波場表達式中的待求系數An，采用最小二乘法

(m=0,±1,±2…n)

(13)

2.3 Green函數G2

(14)

3 SH波的入射

SH波以αi角度入射后在水平界面Y′=0處發生反射和透射，引入復變量z=x+iy，可將入射波W(i)和反射波W(r)分別表示為如下形式

(15)

(16)

圓孔激發產生的散射波W(s)與2.2節中的G(s)具有一樣的表達式和性質，參見式(10)。

4 定解積分方程

至此，區域Ⅰ中的入射波W(i)、反射波W(r)以及散射波W(s)的解析表達式均已給出，從而兩個半空間的“剖分”界面y=-h上的總位移場和總應力場亦可得到。

(17)

考慮到界面處切向應力為零的邊界條件，波場W(i)、W(r)和W(s)的表達式均嚴格滿足，那么“剖分”界面上的總應力滿足如下關系式

(18)

對于區域Ⅱ，“剖分”界面上總位移場與總應力場可表示為

(19)

(20)

如圖3所示，由于在水平界面y=-h處位移和應力連續，若將兩半空間“契合”，則需分別在區域Ⅰ和區域Ⅱ對應的界面處施加一組未知的外力系F1(r0,θ0)和F2(r0,θ0)。

圖3 “剖分”界面裝配模型Fig.3 The conjunction model of “subdivision”surface

考慮外力系產生的位移場和應力場，可得到兩個區域界面處對應的總位移場和總應力場如下

(23)

(24)

其中：G1和G2分別由式(11)和(14)定義。

F1(r0,θ0)=F2(r0,θ0)

(25)

根據界面上位移連續條件，有：

-[W(i)+W(r)+W(s)]θ=π

(26)

-[W(i)+W(r)+W(s)]θ=0

(27)

上述兩個方程屬于半無限域上的第一類Fredholm定解積分方程，該方程具有弱奇異性，因此本文選擇利用弱奇異積分方程的直接離散方法，將式(26)和式(27)分別轉化為線性代數方程組，從而計算出附加外力系F1和F2的值，經驗算，可使界面處位移連續的計算精度達10-16～10-17。

5 孔洞周圍的動應力集中系數(DSCF)

(28)

6 算例分析

根據以上理論推導，本章提供了大量的計算實例探討ξ和η(ξ=c45/c55,η=c44/c55)、入射波數k1R、入射角α、孔洞埋深h/R以及兩個無量綱參數k2/k1和μ1/μ2等參數對圓形孔洞周邊動應力集中系數(DSCF)的影響規律。為了驗證本文理論推導的精確性和可行性，將本文問題模型退化為帶圓孔的各向異性彈性半空間模型，即文獻[12]的分析模型，并令ξ=0.2,η=0.8，h/R=1.5，得出圓孔周邊DSCF的變化曲線圖如圖3所示，經驗證，圖3的數據結果與文獻[12]高度吻合。

圖4 圓孔周邊DSCF隨k1R的變化(ξ=0.2,η=0.8)Fig.4 DSCF around the cavity with k1R(ξ=0.2,η=0.8)

圖5 圓孔周邊DSCF隨h/R的變化(ξ=0.2，η=0.8)Fig.5 DSCF around the cavity with h/R(ξ=0.2，η=0.8)

(a)

(a)

圖8 θ=0°處DSCF隨h/R的變化(ξ=0.2，η=0.8)Fig.8 Variation of DSCF at θ=0° with h/R(ξ=0.2，η=0.8)

(a) ξ=0.2,η=0.8

7 結 論

本文研究了不同參數下正交各向異性雙相介質中圓孔對SH波入射下的動態響應問題。通過詳細分析大量算例，得出以下結論:

(1) 入射波頻率越大，動應力集中現象越明顯。當SH波水平入射和斜入射時，入射波沿各向異性介質的不同方向表現出的傳播特性存在差異，孔和界面之間產生的位移場更加復雜，尤其是孔洞深度較淺的情況，動應力集中更劇烈。在工程實踐中解決界面問題時，需要重點考慮孔洞埋深、不同介質的波數比和剪切模量比等。

(2) 本文揭示的力學規律對工程實踐具有一定的參考價值，有助于材料性能的研究。結合復變函數中的“保角映射”方法，可進一步研究正交各向異性雙相介質界面附近的多個不規則形狀孔洞、夾雜和多裂紋的動力響應問題。