數學概念教學中的信息技術應用
——以函數的單調性為例

楊宏英 廣東省深圳市育新學校

數學概念是人類對現實世界數量關系和空間形式的概括反映，是建立數學法則、公式、定理的基礎，也是運算、推理、判斷和證明的基石，更是數學思維、數學交流的工具。[1]數學概念作為數學核心知識與數學思想方法的載體，一部分來源于現實世界，是由現實世界的事物、現象及其關系抽象而產生（函數與圓），另一部分來自數學內部，是通過對已有數學對象的本質進行再抽象、組合或拓展而得到的進一步概念（復數與極限）。

準確認識和理解概念，是數學教學的一個難點。如果教師能夠借助信息技術合理創設情境，讓學生積極參與到學習中，那么學生對概念的理解將更加深入。[2]創設數學情境可以彌補直接傳授結論的局限，為數學的學術形態轉變為教育形態提供自然的通道，為數學的呈現方式轉變為數學的生成方式提供具體的環境，有利于實現知識“再創造”。[3]

下面，筆者以“十四五”職業教育國家規劃教材——高教社出版的中等職業學校數學基礎模塊上冊《函數的單調性》為例，探索如何運用信息技術創設真實情境，讓學生經歷從具體的直觀描述到結構化表達的抽象過程，加深對函數單調性概念的認識和理解。

● 確定目標

1.學情分析

教師利用問卷星為學生做學情前測，前測內容包括學習方式與學習認知水平兩個方面。

（1）學習方式。有38.96%的學生表示希望“通過師生共同創建活動，探索概念的生成過程”，28.57%的學生贊同“教師畫圖分析導入概念”，24.68%的學生愿意“聽教師陳述定義，介紹概念”，而7.79%的學生表示會通過“自己課后百度求助”。

數據表明，學生關于數學概念學習方式的選擇具有差異性，但其中大部分學生希望通過適當的方式導入概念或在活動中探索概念的生成。

（2）學習認知水平。學生對二次函數f(x)=-x2圖像特征的認識存在很大的偏差，只有32.47%的學生正確回答該函數圖像是開口朝下先升后降的拋物線，錯誤率高達67.53%。對于函數在比較f(-2)與f(-3)的大小關系時，只有40.26%的學生能正確比較大小。

數據表明，中職學校學生對二次函數圖像及其特征缺乏清晰的認識，數量關系比較能力有待加強。

2.課標分析

《中職學校數學課程標準（2020年版）》（以下簡稱“課標”）對函數的單調性給出的內容要求為“理解函數的單調性”，教學提示為“通過熟悉的函數圖像，幫助學生理解函數的單調性”。

從課標要求可以看到，函數單調性的學習需要結合學生身邊熟悉的實例，從“形”出發，經歷從具體的直觀描述到符號語言“數”的結構化表達。

3.確定目標

基于以學習者特征與課標核心素養為導向的教學要求，教師將課標中的“理解函數的單調性”拆解為“描述曲線幾何特征”“抽象出函數模型”“結構化表達函數變化規律”三部分，以確定本節課的教學目標與重難點。

①借助COVID-19曲線走勢直觀描述其幾何特征，培養直觀想象能力與洞察能力（教學目標）。

②通過幾何畫板軌跡追蹤功能抽象出函數模型，培養數學抽象能力與模型意識（重點）。

③通過幾何畫板數據制表功能探索函數的變化規律，用符號語言對函數的單調性進行結構化表達，培養數學建模素養（難點）。

● 教學實施

1.課前

①通過問卷星做學情前測；②教師通過公眾號發布推文《解讀COVID-19圖表曲線，培養學生理性精神》[4]，為學生進入本課學習預熱；③學生根據每天發布的新冠疫情信息收集數據資源，制作數字化視頻，為情境化教學提供準備。

設計意圖：學生是本課的學習者，也是信息化資源的創建者，體現了學習者為中心的教學理念。

2.課中

（1）創設情境（5min）

在初中階段，學生已經初步了解一次函數、反比例函數以及二次函數的圖像具有單調性的特征。高中階段可以創設真實情境，從直觀認識出發，提出問題，通過任務驅動，經歷函數單調性的抽象過程。

問題1：2020年2—11月，觀察海外新冠病例確診趨勢曲線圖，請根據曲線走勢，說出新冠病例確診數與時間的變化關系。

問題2：2020年2—11月，觀察我國新冠病例確診趨勢曲線圖，請根據曲線走勢，說出新冠病例確診數與時間的變化關系。

設計意圖：熟悉的情境容易產生代入感；從幾何直觀出發，發現曲線特征，為抽象函數模型做好鋪墊。

（2）抽象模型（8min）

用幾何畫板模擬曲線，指導學生多次更換f(x)=ax的底部參數，發現函數f(x)=1.66x（如圖1）與f(x)=0.2x（如下頁圖2）與疫情曲線最為契合，從而抽象出函數模型。

圖1

圖2

設計意圖：通過信息技術對疫情曲線反復實驗抽象出函數模型，將真實情境數學化，培養學生的數學建模意識。

（3）揭示本質（8min）

為了進一步揭示函數單調性的內涵，教師利用幾何畫板的制表功能，分析如下頁圖3所示函數圖像中函數值與自變量之間的變化關系。

圖3

設計意圖：利用信息技術呈現函數中的數量關系，使函數單調性概念的生成過程可視化，有利于函數單調性概念的理解與表達。

通過自然語言建構增函數與減函數的概念之后，引導學生通過小組合作討論用符號語言刻畫函數的單調性，這是本課的難點。為突破難點，可以通過“問題驅動+動畫演示”的策略為學生創建思維腳手架。

問題1：對于給定區間上的增函數，當自變量越大，函數值越大，如何用符號語言描述增函數的這種特征。

問題2：對于給定區間上的減函數，當自變量越大，函數值越小，如何用符號語言描述增函數的這種特征。

動畫演示：通過動畫點的軌跡追蹤，確定當x1＜x2時，f(x1)與f(x2)的大小關系（如圖4）。

圖4

通過問題驅動與函數圖像上點的軌跡跟蹤，得出增函數與減函數的符號語言結構化表達模型。

設計意圖：引導學生從用圖形語言認識函數單調性與用自然語言描述函數的單調性過渡到用符號語言表達函數的單調性，是一個從感性認知上升到理性認知，思維方式不斷優化與深入的過程，有助于培養學生獲得更為一般的數學概念模型，發展函數建模素養。

為了深化學生對函數單調性的理解，還需要進一步討論單調區間上自變量x1與x2的任意性。為此，設計問題3。

問題3：對于給定區間D上的函數y=f(x)，若x1∈D、x2∈D，且x1＜x2時，有f(x1)＜f(x2)，那么該函數是增函數嗎？

動畫演示：如圖5所示，如果給定區間上的自變量不滿足任意性，那么可能存在變量x2、x3，雖然滿足x3＜x2，但f(x3)＞f(x2)，不符合增函數的關鍵特征。究其原因，是自變量沒有滿足“任意性”所致。

圖5

設計意圖：利用信息技術演示不滿足函數單調性對自變量的“任意性”要求，出現不符合增函數特征的反例，加強對函數單調性概念嚴謹性的理解。

（4）問題解決（14min）

教師推送函數單調性高考真題，利用雨課堂APP的“學生視角”功能了解學生情況。學生在給定時間內解答“雨課堂”推送的學習任務，在“雨課堂”后臺可收藏學習資源。

設計意圖：通過高考真題實戰演練，提高學生的問題解決能力與數學核心素養；實時測評，數據驅動；及時發現問題并調整教學策略。

（5）歸納總結（5min）

教師引導學生歸納總結函數的單調性。學生用思維導圖梳理出函數單調性的脈絡。

設計意圖：用“幕布”做思維導圖，形成學習管理習慣。

3.課后

教師通過雨課堂APP收集學習數據，針對性地推送函數單調性作業。

● 教學反思

1.關于教學策略

通過信息技術創建基于真實問題的學習情境，創新數學概念教學方式，可避免知識的刻板復制。充分利用信息技術重構教學內容，優化知識的呈現形式，將抽象概念形象化、靜態概念動態化，有利于深化數學概念的理解，揭示數學概念的本質。本課例創設的情境來自學生熟悉的生活事實，不僅能培養學生的理性精神，而且有利于學生形成面對全球公共危機，更加需要構建人類命運共同體的價值觀念。

此外，信息技術創設真實情境要考慮三個要素：

①師生共建。學生不僅是資源的消費者，還是資源的創建者。充分利用學生的數字化意識與信息技術能力，師生共建學習資源，在資源建設中體驗概念產生的背景與過程。

②問題導向。利用信息技術創設真實情境，要以核心素養為導向，通過問題驅動激發學生興趣，引導學生做中學、創中學、用中學，在協作與對話中，尋求問題解決方案。

③注重本質。信息化教學資源力求體現情境的鮮活性與時代特點，更重要的是在資源建設過程中，體現數學的相關性，注重通過信息技術揭示數學概念的本質。

2.關于學習主體

將信息技術融入數學概念的學習，使學生成為函數單調性概念“再造”的積極建構者；基于信息化創建學習資源與數學實驗，學生經歷真實情境的數學化過程，從幾何直觀到數學抽象，從數學模型到符號語言的結構化表達，圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功，獲得有意義的學習，體現了學習者為中心的教學理念。

3.關于學習評價

根據布魯姆教育目標分類學原理，教學設計應該圍繞“目標、教學、評價”三個維度展開，形成“學教評一致性”的教學設計原則。本課例教學實施的每一個環節都圍繞學習目標展開，力求目標、教學、評價兩兩匹配。

對比課前測與課后測的數據可以發現，本課的學習目標的達成度較好。課前，只有32.47%的學生正確回答函數f(x)=-x2的幾何特征，課后，60.83%的學生能正確解答更復雜的函數f(x)=x2-2x+3的函數單調區間，學生的認知增量達到將近50%；課前，對給出的函數在比較f(-2)與f(-3)的大小關系時，只有40.26%的學生通過計算正確比較大小，課后，45.83%的學生能根據函數單調性概念規范表達該函數的單調區間。學生答題的正確率不高，可見關于反比例函數問題，是學生的薄弱點，需要在后續教學中進一步強化。雖然前后增量只有5%，但是后者的難度更大。前后比對發現，本課題的信息技術教學策略，對實現“學教評一致性”具有借鑒意義。