高等數學課堂中融入課程思政的教學設計
——以“由參數方程所確定函數的導數”為例*

袁媛 王軍威 曾麗

(廣東外語外貿大學數學與統計學院 廣東廣州 510006)

一、教學設計

1.知識點分析

由參數方程所確定的函數是高等數學中一類重要函數，其導數的計算需要利用反函數的求導法則和復合函數的求導法則。特別是由參數方程所確定函數的二階導數，既是教學的重點，也是學生學習的難點。

關于參數方程所確定函數的導數，目前已有的教材[2][3]都著力從如何得到公式的角度進行證明和推導，特別是二階導數公式，因為記號的復雜和推導的抽象，讓學生在理解上感到困難，在實際計算時經常犯錯。究其原因，是沒有厘清由參數方程所確定函數的導數中因變量與自變量的關系，對這個新函數沒有清晰的認識。在教學中，教師自身需要理解由參數方程所確定函數的一階導數、二階導數以及任意階導數（如果函數存在任意階導數）都依然是由參數方程所確定的函數，在講授過程中，設計適當的例題，啟發學生自己進行分析總結，從而使學生能輕松理解和應用這些知識點。

2.課程思政融入

繁花曲線規是一種能畫出各種美麗曲線的玩具，其發明者楊秉烈先生以及繁花曲線規的發明過程，不大為人們所知，直到綜藝節目——《最強大腦》制作了一期關于繁花曲線的比賽，繁花曲線規才被更多人知曉。本課首先通過播放繁花曲線規相關視頻，讓學生了解繁花曲線規的發明過程，感受楊先生的創新精神，激勵學生做生活的有心人，勇于嘗試。

然后，引導學生關注一種特殊的繁花曲線——星形線，以“如何求解星形線上某一可導點處切線的斜率”這一問題來驅動學生學習和思考，復習和運用已學方法，進而學習新知識得到新方法。這樣，在具體知識點的學習中，培養學生的探索精神，鍛煉學生的邏輯思維，提升學生分析問題和解決問題的能力。

最后，以星形線在公交車車門設計中的應用[4]為例進行知識拓展，讓學生了解數學知識在日常生活中應用，鼓勵學生養成善于觀察和勤于思考的良好習慣。

3.課程準備

（1）學情分析

學生已經學習了導數的定義和性質，能熟練運用反函數的求導法則、復合函數的求導法則、初等函數的求導公式，以及隱函數的求數法則進行計算。

（2）教學目標

知識目標：掌握由參數方程所確定函數的求導公式，理解其推導過程。

能力目標：培養求解由參數方程所確定函數的一階導數和二階導數的計算能力，提高學生正確認識問題、分析問題和解決問題的能力。

德育目標：培養學生的科學精神，形成分析問題、解決問題的思維；讓學生們在體驗數學曲線之美的同時，感受到數學知識的實際應用價值，鼓勵學生養成善于觀察和勇于探索的良好習慣。

（3）教學重難點

重點：由參數方程所確定函數的因變量和自變量之間關系的建立，其一階導數的計算公式。

難點：由參數方程所確定函數的二階導數的計算。

4.教學實施

（1）情景導入

請學生觀看繁花曲線規的圖片和《最強大腦》中關于繁花曲線規發明者楊秉烈先生的介紹視頻，讓學生在感受數學曲線之美的同時，感受繁花曲線規發明者的探索和創新精神，激發嘗試精神。

（2）一條特殊的繁花曲線——星形線

圖1 星形線的形成過程

引導學生分析：想要解決以上問題，需要求點Q所在曲線對應函數的導數。

問題2.1.1：星形線上點Q所在曲線對應函數的表達式是什么？

引導學生觀察發現該點所在曲線對應的函數是由星形線的一般方程確定的，即該函數是隱函數。

方法一：利用隱函數的求導法則計算出該點處的導數值。請學生自己完成計算。

問題2.1.2：星形線上一點Q所在曲線對應的函數是否能顯化？如何利用顯化的函數求這點處切線的斜率？

方法二：將函數顯化后用求導公式來計算。請學生自己完成計算。

問題2.1.3（引出新課）：如何利用星形線的參數方程來計算該曲線上某一點處的切線斜率？

方法三：利用星形線的參數方程來計算。此方法是本次課的學習內容。

（3）新知探究

設計思路：本部分將通過兩個重點例題引導學生進行觀察和分析，啟發學生總結出消去參數過程的本質，進而利用復合函數的求導法則和反函數的求導法則，推出由參數方程所確定函數導數的計算方法。

引導學生觀察如何經過參數t建立y與x之間的函數關系。繼續觀察發現，參數t可以消除，即函數可以顯化，步驟是：

引導學生觀察如何經過參數t建立y與x之間的函數關系。此方程中，參數t無法消除，因為第一個方程中t不能解出。但是，這個參數方程所確定的函數存在，可以分析其導數，引出問題：如何求

回頭分析例1中消除參數過程的本質：

第一步：若x=φ(t)是單調函數，則其存在反函數，記為

第二步：將y=ψ(t)與進行復合，得到函數此時t為中間變量。

（4）深入難點

設計思路：在學生能順利求解由參數方程確定函數的一階導數的基礎上，設計恰當的問題來層層推進，引導學生理解由參數方程確定函數的導數依然是由參數方程所確定的函數這一本質，進而自然地得到其二階導數和更高階導數的計算方法。

請學生完成后，繼續探究：

繼續探究：

此處請學生自己歸納出求由參數方程所確定函數的各階導數（如果存在）的方法。

回到問題2.1.3：如何利用星形線的參數方程來計算該曲線上某一點處的切線斜率？

方法三：利用結論1來進行求解。

完成以上計算后，引導學生做一個對比：利用參數方程求導方法的計算過程，與前面利用隱函數求導公式的計算過程，以及顯化函數后的計算過程進行對比，理解直接利用參數方程解決問題的優勢所在。

至此，學生已經完全掌握了由參數方程所確定函數的導數的結論和計算法則，對該函數因變量與自變量關系的建立有了清楚的認識，能計算參數方程所確定函數的各階導數（如果各階導數存在）。

（5）知識拓展

展示動態圖形，請學生觀察并得出結論：星形線上任一可導點處的切線與x軸和y軸的交點的連線長度是常數。

實際應用：該結論被用于公交車的車門設計。

教師通過播放動圖，讓學生了解公交車車門開關時門底的運行路線，比較同樣大小的單開門、雙開們和公交車車門開門時門底運行所掃過的面積。

5.課堂反思

本次課采用問題教學法，通過學習由參數方程所確定函數的求導公式，培養學生的邏輯思維，通過學習星形線的應用增加學生對數學應用的了解，通過介紹繁花曲線設計者的工匠精神激勵學生積極創新和勇于嘗試。這是一次試圖集科學性、互動性、前沿性和課程思政于一體的創新改革實驗課。對于老師設計的問題，學生能獨立思考并完全解決。根據課堂練習情況，學生全部掌握了本次課的教學重難點，達到了本次課的教學目標。

結語

高校教師肩負著教書育人的歷史使命，不僅要傳授知識，還要引導學生將知識轉化為自身的高尚品德和思想情操。鑄魂育人，立德樹人，責無旁貸，落實到高等數學課堂上，就是通過精心設計每一個單元的教學，使課程教學與思想政治教育無縫銜接，潛移默化地發揮影響作用，引領學生深入了解數學與人類社會發展之間的關系，體會數學的科學價值和應用價值，激發學生對于創新的認識，從而真正提高學生的數學素養與政治素質，實現“在課程中育人，在育人中推動素養提升”的良性互動。