以小見大 聚焦變化 指向素養(yǎng)
——以一道“函數(shù)探究題”的改編為例*

周 煉

(江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中 225399)

2022年4月7日，江蘇省泰州市教育局教學(xué)研究室舉辦了全市初中數(shù)學(xué)教師命題比賽.此次比賽以提升初三數(shù)學(xué)教師命題能力、推進初中數(shù)學(xué)命題改革、更好落實雙減政策以及新高考下教學(xué)模式的轉(zhuǎn)變?yōu)橹饕康?，同時也激發(fā)了全市初中數(shù)學(xué)教師以及教研員的命題熱情.比賽分兩種模式：改編試題與原創(chuàng)試題.筆者選擇了改編試題中的一道函數(shù)題作為初始素材，借助于幾何畫板等工具，從結(jié)構(gòu)優(yōu)化、問題設(shè)計、思想升華等方面對試題展開了深入研究，并在改編過程中形成了一些主張與想法，下文作具體闡述.

1 試題原型與改編

1.1 試題原型

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2-4x+3與x軸相交于點A，B(點A在點B的左側(cè))，與y軸相交于點C.(1)求直線BC的表達(dá)式.(2)垂直于y軸的直線l與拋物線相交于點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，與直線BC交于點N(x3，y3).若x1

1.2 改編呈現(xiàn)

在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，拋物線y=a(x-m)(x-n)(a<0，m

(1)設(shè)a=-1，m=1，n=3.①求線段AB的長；②證明：當(dāng)c<1時，一定存在不重合的P，Q兩點且x1+x2的值不會隨著c的變化而變化.

2 改編策略

2.1 以小見大的維度延伸

·將參數(shù)一般化，以拓寬試題的內(nèi)容

一道試題的背后，往往是命題者對試題所涉及的方方面面進行透徹研究的結(jié)果，但考慮到學(xué)生的思維水平與接受程度，一般都會對結(jié)論作特殊化處理，以更加具體的問題情境作為呈現(xiàn)載體.但在改編一道試題時，若依舊停留在特殊化階段，命題的視野與格局便無法打開，看到的也僅僅是特定條件下的固化結(jié)論，不具備遷移性與推廣性，更談不上創(chuàng)新與發(fā)散.若想要激蕩出更多的靈感就要先將試題一般化，對于函數(shù)題來說主要是將參數(shù)一般化，這是一個由點到面再由面到點的過程，只有經(jīng)歷了這樣的過程，才會形成更豐富、寬廣、多元化的良好命題樣態(tài).

本題函數(shù)原型是一個完全確定的二次函數(shù)，但若囿于某個具體的函數(shù)表達(dá)式，改編的范圍便會十分狹隘，延伸面也較小.為了創(chuàng)造出更多的可能性，勢必要將拋物線y=x2-4x+3推廣為更一般的形式.經(jīng)分析，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在整個問題中與x軸的兩個交點密切相關(guān)，所以將其一般化為交點式y(tǒng)=a(x-m)(x-n)是比較合理的，這樣便能在緊扣原型的基礎(chǔ)上以小見大地切入.至于原型中的直線，在改編時一開始給出的是一般形式y(tǒng)=c，但由于后續(xù)要研究更具體的存在性問題，在多次嘗試后發(fā)現(xiàn)令y=m2能與y=a(x-m)(x-n)產(chǎn)生更為具體的、個性化的代數(shù)關(guān)聯(lián)，最終確定“a，m，n”為本題的參數(shù)設(shè)定.

·將結(jié)構(gòu)層次化以促進思維的遞進

試題改編不同于直接命題，因為試題原型本身是有研究基礎(chǔ)的、是原命題者思維的結(jié)晶，所以相當(dāng)于站在“巨人的肩膀”上再研究、再發(fā)現(xiàn).試題改編雖要立足并尊重原型，但更要高于并突破原型，要能在已有研究成果之上彰顯創(chuàng)造性.而正是這樣逐漸往高處走的趨勢，反而有可能會在改編后變得“不接地氣”，甚至與學(xué)生的思維水平出現(xiàn)斷層.為了避免這樣的狀況發(fā)生，當(dāng)改編后的問題比較抽象或思維過于密集時，可以為其設(shè)置有層次的遞進結(jié)構(gòu)，通過從特殊到一般的引導(dǎo)，給學(xué)生創(chuàng)造一個小的切口，再從這個切口出發(fā)以小見大、循序漸進地展開研究.

2.2 聚焦變化的改編理念

變化是一切事物的本質(zhì)特征，或者說這個世界上唯一不變的就是變化.在問題改編的過程中賦予變化視角，往往能看到事物的多面性.但雜亂無章的變化是沒有研究價值的，一般來說，不變性與存在性是在變化情境中研究問題的兩個常見維度，以此重新審視問題往往會獲取不一樣的探究視角.本題改編原型的第二問就蘊涵著豐富的變化因素，例如在動直線平移的過程中找到符合x1

·變化中的不變性

原型中關(guān)于變化中的不變性是相對隱蔽的，再加上題目中并沒有直接給出研究不變性所需的參數(shù)，對于代數(shù)意識較弱的學(xué)生可能會出現(xiàn)入門障礙.另一方面，設(shè)出參數(shù)后的推理過程相對簡單，也不能充分體現(xiàn)學(xué)生的代數(shù)素養(yǎng).基于此，決定在原型基礎(chǔ)上在兩處分別降低、提升一個維度對變化中的不變性進行改編.

第一處：在(1)②中通過引入變量c，構(gòu)建了無論c取何值，都不影響x1+x2恒為定值的結(jié)構(gòu)設(shè)計.對比原型來看，將“垂直于y軸的直線l”具體化為函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=c，這實質(zhì)上是多鋪設(shè)了一層臺階，幫助學(xué)生搭建了設(shè)參數(shù)描述函數(shù)交點的腳手架，避免了在原型中由于缺乏參數(shù)意識造成一部分學(xué)生在一開始就陷入無從下手的“恐慌”局面.學(xué)生在得到拋物線表達(dá)式y(tǒng)=-x2+4x-3后，只要令-x2+4x-3=c，再根據(jù)c<1便可得Δ=4(1-c)>0，從而發(fā)現(xiàn)一定存在不重合的P與Q兩點.

圖1 圖2

圖3 圖4

·變化中的存在性

由于重新設(shè)定的問題背景融入了大量參數(shù)，所以函數(shù)圖象相較于原型結(jié)構(gòu)固化的缺陷，有了更加自由的延伸與探索空間.在改編時可以對不同的參數(shù)賦值，通過觀察、分析、推算、驗證等方法以發(fā)現(xiàn)更多變化中的存在性，并將其設(shè)定為范圍求值、證明等問題，從而將試題改編再推上一個新的高度.本題共有兩處改編體現(xiàn)了變化中的存在性.

圖5

第一處：在(2)①中“已知點A在直線BC的上方，求m的取值范圍”正是基于原型中“求直線BC的表達(dá)式”、指向存在性研究的改編.在改編時，借助于幾何畫板對不同的參數(shù)賦值使圖象位置發(fā)生變化，發(fā)現(xiàn)在變化的過程中點A時而落在直線BC的下方(如圖5、圖6)，時而落在直線BC的上方(如圖7)，并且無論怎樣改變n值的大小，都不影響點A與直線BC的位置關(guān)系，唯獨當(dāng)m分別為正值與負(fù)值時，才會產(chǎn)生兩種不同的位置狀態(tài).本題以點A在直線BC的下方作為要滿足的存在性要求對原型進行了改編，發(fā)現(xiàn)通過代數(shù)推理可得0>-am2+amn，因為a<0，所以m2n，但這與條件中的m0，那么m

圖6 圖7

圖8 圖9

3 素養(yǎng)表現(xiàn)

3.1 扎實的運算功底

參數(shù)引入是本次改編的一大特點，除了第一問的題①是解簡單的一元二次方程，后面三個問題均涉及一定量的參數(shù)，而在參數(shù)較多的情況下能根據(jù)法則和運算律進行正確運算，是代數(shù)素養(yǎng)達(dá)成的一種高度體現(xiàn).相較于小學(xué)階段更加注重式的研究，初中階段更關(guān)注學(xué)生的抽象思維能力，在腳手架搭建合理的情況下適當(dāng)設(shè)置一些參數(shù)，可以反映出學(xué)生能否選擇合理的運算策略以解決結(jié)構(gòu)不良的代數(shù)問題，并以此促進學(xué)生運算素養(yǎng)的發(fā)展，這也有助于形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度[1].

3.2 必要的幾何直觀

改編后的問題只有第一問給出的是具體函數(shù)，但隨著解題的不斷推進，學(xué)生會愈發(fā)感受到函數(shù)的抽象性，越來越覺得無從下手，事實上這是參數(shù)增多后所引發(fā)的必然結(jié)果.本題之所以沒有畫出函數(shù)圖象，就是希望學(xué)生能嘗試著自己主動畫圖，通過圖象讓抽象的代數(shù)研究更加具體，以發(fā)展運用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣，逐漸形成幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng).前面提到，改編時問題的結(jié)構(gòu)設(shè)置是逐層遞進的，學(xué)生可以先從第一問中的具體函數(shù)圖象開始畫起，并以此類比畫出后面抽象函數(shù)的大致草圖建立形與數(shù)之間的聯(lián)系.當(dāng)然，僅僅依靠圖象分析并不能完全說明問題，依舊需要借助于計算與推理進行說理.但構(gòu)建直觀模型對于把握問題本質(zhì)、明晰研究路徑等方面的優(yōu)勢是不言而喻的，它能讓思維看得見、摸得著，讓推理有跡可循.

3.3 嚴(yán)密的推理能力

推理能力主要是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力.本題雖然是一道代數(shù)題，但對學(xué)生的推理能力卻有相當(dāng)?shù)囊?，尤其是最后一問，?dāng)學(xué)生面臨很多參數(shù)與不等式時，要將這些不等關(guān)系加以綜合、分析以形成一條清晰的推理主線，是需要非常嚴(yán)密的整合能力的.另外，以小見大、聚焦變化的改編方式，也讓題目中整體結(jié)構(gòu)從特殊到一般的類比，關(guān)于存在性與不變性的分析、表述都建立在了邏輯性的基礎(chǔ)之上.由此看來，改編后的試題需要學(xué)生較強的推理能力.相信經(jīng)歷了這樣的過程后，可以讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，有助于培養(yǎng)學(xué)生重論據(jù)、合乎邏輯的思維方式，形成實事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.