一道2022年數學競賽題的多種解法與命題背景探究

虞哲駿 沈珂娜

(浙江省寧波市慈溪中學 315300) (浙江省寧波市鎮海中學 315200)

一個好的數學問題常常能激發學生的學習熱情和探究欲望，引導數學探究活動有序進行．而一道好的數學題應具備“容易接受、一題多解、蘊含了重要的數學思想、不故意設陷阱、可推廣和一般化”這五個特點．2022年全國高中數學聯賽四川省預賽第6題就是一道這樣的好題．

1 原題呈現

(2022年全國高中數學聯賽四川省預賽第6題)若△ABC的三邊a,b,c滿足a2+b2+3c2=7，則△ABC面積的最大值為．

2 解法探究

圖1

圖2

3 命題背景

當然，我們也可以利用待定系數法去尋找等號成立的條件：

4 結論推廣

外森比克不等式的加強：

進一步，我們考慮加權的形式，有：

推廣2 已知x,y,z>0，若a,b,c為△ABC的三邊，S為△ABC的面積，則

當且僅當x=y=z且△ABC為正三角形時等號成立．

證明(1)由外森比克不等式有

[x(y+z)sinC+y(z+x)sinA+z(x+y)· sinB]≥(x+y+z)2，

再由柯西不等式得

[x(y+z)sinC+y(z+x)sinA+z(x+y)sinB]2≤[x2(y+z)2+y2(z+x)2+z2(x+y)2](sin2C+sin2A+sin2B)．

4(x+y+z)4≥27[x2(y+z)2+y2(z+x)2+z2(x+y)2]．而4(x+y+z)4-27[x2(y+z)2+y2(z+x)2+z2(x+y)2]=∑(y-z)2(3x2+2y2+2z2+20yz)≥0，當且僅當x=y=z時等號成立．所以原命題成立．

當然，我們也可以從冪次上進行推廣：

推廣4 若a,b,c為△ABC的三邊，S為△ABC的面積，m≥1，則a2m+b2m+c2m≥

再考慮推廣4的加權形式：

證明由柯西不等式，得

(xa2m+yb2m+zc2m)(x+y+z)m-1

=(xa2+yb2+zc2)m

當且僅當x=y=z且△ABC為正三角形時等號成立，從而原不等式成立．

5 結語

在三角形中，我們往往可以借助正弦定理、余弦定理和面積公式結合基本不等式等工具，使解三角形的變化更加靈活．本文對此類邊的二次型結構與面積有關的最值問題進行了深入的剖析，并作了一定的推廣，顯然，根據推廣的形式，我們還可以編擬許多習題或考題，來訓練或考查學生的數學思維能力．