基于能力導向的工科高等數(shù)學教學
——以方向導數(shù)與梯度為例

張京良

（中國海洋大學 數(shù)學科學學院，山東 青島 266100）

高等數(shù)學是工科類專業(yè)的一門公共基礎必修課，其內容多、學分重和抽象性強，教學效果直接影響到工科專業(yè)的人才培養(yǎng)質量。

近幾年，工科類專業(yè)正在進行兩個重要方面的建設，一是工程教育專業(yè)認證，二是新工科建設。工程教育專業(yè)認證中要求學生具備應用、分析、評價和創(chuàng)造等高階學習能力[1]；新工科人才培養(yǎng)中要求學生具有較強的創(chuàng)新思維和實踐應用能力[2]。工科類專業(yè)的發(fā)展對作為基礎必修課的高等數(shù)學教學提出了新要求：教學中應注重能力培養(yǎng)。

傳統(tǒng)的高等數(shù)學教學多是重視數(shù)學知識的講解，關注數(shù)學的抽象性、嚴密性，強調計算和證明的技巧性，導致學生學習興趣低、能力提升慢，不適應工科專業(yè)發(fā)展對數(shù)學教學的要求。為強化學生能力培養(yǎng)，我們在教學中補充了生活、工程等方面的應用性案例作為課堂引例，案例的應用性提高了學生的學習興趣，案例的分析、解決過程培養(yǎng)了學生的知識應用能力和創(chuàng)造性思維能力。實踐表明，案例教學法不但能更好地推動知識教學目標的實現(xiàn)，而且能有效促進能力教學目標的達成。

下面以方向導數(shù)與梯度為例給出詳細的能力導向的教學設計。

一、教材內容和學情分析

（一）教材內容分析

方向導數(shù)與梯度在教材[3-4]中被安排在偏導數(shù)的應用部分，意圖是想說明用偏導數(shù)可以計算出方向導數(shù)與梯度，所以教材中直接引入了方向導數(shù)與梯度的概念，然后給出方向導數(shù)與梯度的計算公式。教材中沒有說明這兩個概念自身的應用場景，造成了概念引入突兀、直觀理解欠缺。如果按照教材內容直接進行傳統(tǒng)講授，學生學完本節(jié)知識后對方向導數(shù)與梯度的計算能夠掌握，但對它的本質并不理解，進而難以提升他們對數(shù)學的學習興趣，更談不上知識應用能力和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。換句話說，就是教學目標中的知識目標能夠達到，但能力目標就很難達到了。為此，對該節(jié)知識的講授有必要進行推敲研究[5-7]，做好能力導向的教學設計工作。

（二）學情分析

傳統(tǒng)的高等數(shù)學教學往往以教師為中心、以知識講授為目的，學生習慣于被動聽講，學習興趣與學習主動性不夠，導致學生知識掌握不牢固、能力培養(yǎng)跟不上。如何以學生為中心，提高學生學習興趣，重視知識理解、強化能力培養(yǎng)，是高等數(shù)學教學面臨的挑戰(zhàn)。

二、教學策略與教學目標

（一）教學策略

針對高等數(shù)學在傳統(tǒng)教學中遇到的上述問題，我們的教學策略是：采用能力為導向的教學設計，在教學內容中引入生活、工程和軍事等方面的應用性案例，用案例教學法進行教學。一方面，案例的應用性可以提高學生的學習興趣；另一方面，案例的分析、解決與實驗驗證過程可以培養(yǎng)學生的知識應用能力和創(chuàng)造性思維能力。

（二）教學目標

為滿足中國海洋大學“高素質創(chuàng)新人才”的培養(yǎng)要求和適應工程教育認證與新工科建設的需求，我們優(yōu)化了本節(jié)教學目標，強化了能力培養(yǎng)與價值塑造。

（1）知識目標：記住方向導數(shù)與梯度的概念；理解偏導數(shù)與方向導數(shù)的關系；掌握方向導數(shù)與梯度的計算。

（2）能力目標：通過飛機在雷暴區(qū)飛行問題與螞蟻逃跑問題兩個案例的分析、解決及實驗驗證來提高分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維能力；通過方向導數(shù)與梯度的計算來提高數(shù)值計算能力。

（3）素質目標：通過對極限思想、歸納演繹法和例證法的運用來提高在數(shù)學思想、數(shù)學方法方面的素養(yǎng)。

（4）價值目標：通過方向導數(shù)與梯度在登山與速降、梯田修建、圖像處理和洋流預測等方面的應用，提高學習興趣，樹立積極的學習觀；通過分組討論增強團結協(xié)作精神。

三、教學內容與教學過程

（一）新課導入

首先，播放電影《中國機長》中飛機在雷暴區(qū)飛行片段，導入案例1[8]。

引例1 飛機在雷暴區(qū)飛行問題。飛機飛入雷暴區(qū)時，可能遭遇雷擊，給飛行安全帶來很大隱患。這就要求駕駛員制定合理的飛行路線，盡快飛離雷暴區(qū)。問飛行員應該按照什么路線飛行才合理?

接著，進行問題分析。事實上，雷暴區(qū)的氣壓低，飛離雷暴區(qū)就是盡快從氣壓低的地方飛到氣壓高的地方。需要解決兩方面問題。

（1）沿某個方向，氣壓變化度怎么表示？

（2）沿哪個方向，氣壓變化度最大？

然后導入案例2。

引例2 螞蟻逃跑問題。設平面上有一鐵板，紅點表示一熱源，鐵板上有一螞蟻。螞蟻感覺到發(fā)燙時就會逃走。問螞蟻沿什么方向逃跑，才能盡快逃到?jīng)鏊瑓^(qū)？

再進行問題分析。螞蟻應該沿著溫度下降最快的方向逃跑。需要解決兩方面問題。

（1）沿某個方向，溫度變化度怎么表示？

（2）沿哪個方向，溫度變化度最大？

然后對兩個案例進行小結，指出引例1 中的（1）與引例2 中的（1）本質上是本節(jié)要學的方向導數(shù)；引例1 中的（2）與引例2 中的（2）本質上是第二節(jié)課要學的梯度。

（二）方向導數(shù)

1.方向導數(shù)的定義

先進行引例1 中的問題（1）的解決：以雷暴區(qū)中心為原點，建立坐標系。假設發(fā)生雷暴時飛機的飛行高度不變，氣壓函數(shù)為z=p（x，y）。任取一方向P0P，設P0（x0，y0），P（x，y），則在P0點處沿P0P 方向的氣壓變化度為

再進行引例2 中問題（1）的解決：建立坐標系，設溫度函數(shù)為z=T（x，y），任取一方向P0P，設P0（x0，y0），P（x，y）則在P0處沿P0P 方向的溫度變化度為

總之，互聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下，圖書從傳統(tǒng)的長形式變遷為長形式與網(wǎng)形式結合的形態(tài)，是對當前超文本閱讀環(huán)境的一種積極適應，也是對長形式圖書生命力的極大延伸。讀者在原界面與跨界面的不斷切換中，實現(xiàn)從閱讀到躍讀的循環(huán)，如此，長形式圖書的商業(yè)價值與閱讀價值同時得以提升，或許這就是圖書出版業(yè)未來發(fā)展的主流趨勢。

最后對兩個問題的共性進行總結：上述是兩個不同的問題，發(fā)現(xiàn)它們的解決方法相同，最后得到的結果形式相同。類似這樣的問題不只有這兩個，還有很多，如研究電場時考慮電壓沿不同方向的變化、攻山作戰(zhàn)時需要研究山坡陡峭度沿不同方向的變化等，這一類問題解決方法相同、最后結果形式類似，故對這一類問題進行概括歸納，總結出其共性，并加以抽象，就得到了一個新的概念，稱為方向導數(shù)。

定義1：設l 是xoy 平面上以P0（x0，y0）為始點的一條射線，函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）的某一鄰域U（P0）內有定義，P（x，y）∈U（P0）為l 上另一點。令如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)f（x，y）在點P0沿方向l 的方向導數(shù)，記作

注：此處可進行課程思政教育，解決這一類問題時所用的數(shù)學思想——極限思想，給出方向導數(shù)定義時采用的數(shù)學方法——演繹歸納法，這種數(shù)學思想與數(shù)學方法以前使用過，如導數(shù)的定義、定積分的定義，今后還將繼續(xù)使用，如重積分的定義、線面積分的定義。

2.方向導數(shù)與偏導數(shù)的關系

前面已經(jīng)學過了偏導數(shù)，現(xiàn)在介紹方向導數(shù)，自然討論二者的關系。以取l=x 為例，先寫出二者的定義

發(fā)現(xiàn)，偏導數(shù)是雙側極限，方向導數(shù)是單側極限，故方向導數(shù)存在，偏導數(shù)不一定存在；反之，若偏導數(shù)存在，方向導數(shù)是否一定存在呢？不一定，用例證法，舉例說明。

易求得：函數(shù)沿任何方向的方向導數(shù)都不存在，但兩個偏導數(shù)都是0。

此例說明，偏導數(shù)存在保證不了方向導數(shù)存在，那函數(shù)滿足什么條件時方向導數(shù)才存在呢？啟發(fā)學生：能否把條件加強一下？前面學習全微分時知道，全微分存在可推出偏導數(shù)存在，故此處換為偏微分存在試一下。

3.方向導數(shù)存在的充分條件與計算

定理：如果函數(shù)z=f（x，y）在點P0（x0，y0）處可微分，那么函數(shù)在該點沿任一方向l 的方向導數(shù)都存在且有，其中cosα，cosβ 是方向l 的方向余弦。

證明：此處略，見教材[3-4]。

注：（1）本定理不但給出了方向導數(shù)存在的充分條件，而且給出了方向導數(shù)的計算方法。（2）方向導數(shù)的概念和計算公式可推廣到三元函數(shù)上[3-4]。

（三）梯度

1.梯度的定義

先回顧引例1 與引例2 中的問題（2）：引例1 中的問題（2）——沿哪個方向，氣壓變化度最大？引例2 中的問題（2）——沿哪個方向，溫度變化度最大？

再分析這兩個問題的解決：由第一節(jié)知，事實上這兩個問題都可以歸結為沿什么方向導數(shù)最大？可轉化為如下數(shù)學問題。

數(shù)學問題：u（x，y）為一個可微函數(shù)，P（x，y）是平面上一點為過P（x，y）的射線，則滿足什么條件時，u（x，y）沿方向的方向導數(shù)取最大值？

雖然學生知道沿梯度方向，函數(shù)變化率，也即方向導數(shù)取最大值，但對梯度方向仍然沒有直觀認識，這就是會算卻不會用，知識應用能力還沒有得到很好的培養(yǎng)。為此，我們打算對引例進行數(shù)學實驗驗證，需要先介紹梯度的幾何意義。

2.梯度的幾何意義

梯度的幾何意義：曲面u（x，y，z）=C 的梯度就是它的一個法向量，事實上

明白了梯度的幾何意義后，就可以對引例進行數(shù)學實驗驗證了。

3.引例1 與引例2 的數(shù)學實驗驗證

引例1 的實驗驗證：飛機飛行高度不變，設飛行區(qū)的氣壓函數(shù)為P（x，y）=x2+2y2，飛機位于P0（1，2）點。問飛行員應該按照什么路線飛行才合理?

解：應該沿每一點處的梯度方向飛行。而梯度為gradp（x，y）=（2x，4y）。設飛機飛行路線為y=y（x），方向為其切向量s→=（1，y′）。則

積分得y=Cx2，又過P0（1，2），所以y（1）=2，求得C=2。故飛行函數(shù)應該為y=2x2。

用matlab 畫出等壓線C=x2+2y2與飛機飛行路線y=2x2，如圖1 所示，發(fā)現(xiàn)：直觀上，飛行路線確實垂直于等壓線，即為其法線。

圖1 引例1 的數(shù)學實驗驗證

引例2 的實驗驗證：設鐵板溫度函數(shù)為T（x，y）=100-x2-4y2，在P0（1，-2）處有一只螞蟻。問螞蟻沿什么路線逃跑，才能盡快逃到?jīng)鏊瑓^(qū)？

注：推導過程類似于引例1 的實驗驗證，此處可采用分組討論法，提高學生的學習參與性、培養(yǎng)團結協(xié)作精神。可求得螞蟻逃跑函數(shù)應該為y=-2x4，用matlab 畫出等溫線與螞蟻逃跑路線，如圖2 所示，發(fā)現(xiàn)，直觀上，螞蟻逃跑路線確實垂直于等溫線，即為其法線。

圖2 引例2 的數(shù)學實驗驗證

概括起來，我們的方向導數(shù)與梯度的教學采用案例教學法，強化了學生的知識應用能力和創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，整個課堂教學流程圖如圖3 所示。

圖3 教學流程圖

四、結束語

案例教學法是實現(xiàn)以能力為導向的工科高等數(shù)學教學的有效途徑。案例的應用性可以加深學生對數(shù)學知識應用背景的了解，提高對數(shù)學的學習興趣，增強知識掌握效果，更好地實現(xiàn)教學目標中的知識目標；案例的分析、解決與實驗驗證過程可以培養(yǎng)學生的知識應用能力和創(chuàng)造性思維能力，有效促進教學目標中能力目標的達成，適應了工程教育專業(yè)認證與新工科建設等對數(shù)學教學的要求。評教結果與學習效果表明，基于案例的能力導向的高等數(shù)學教學受到了學生的歡迎，值得推廣。