1種管殼式冷凝器優化設計新方法

崔祎，常承林，王彧斐

（1.中國石油大學（北京）自動化系，北京 102249；2.重慶大學化學化工學院，重慶 400044）

冷凝器的種類繁多，按接觸方式不同，可分為蓄熱式、混合式及間壁式等[1-3]；按傳熱面形式不同，可分為管殼式、板式及翅片式等[4-5]。其中，管殼式冷凝器以其易生產、低成本、清洗方便和處理量大等優點，成為化學工業中應用最廣泛的冷凝設備[6]。

王開鋒提出了1 種基于遺傳-模擬退火算法對管殼式冷凝器的詳細設計，分析了了有相變情況下，管內外徑、管長，擋板數量和管程數等設計變量對于冷凝器費用的影響，對換熱面積與壓降進行全面的權衡[7]；彭嵐建立了數值計算模型，采用遺傳算法，研究管外徑、管間距、管壁厚等變量對于冷凝器重量的影響[8]；劉成洋等采用改進的遺傳算法，研究了管外徑和管間距對于冷凝器重量和體積的影響，該算法的精確性和收斂性都得到了充分的驗證[9]。

HASSAN 等以管程數、管束布局等為設計變量，以冷凝器總成本為目標函數，對比遺傳算法和粒子群算法的優劣，發現遺傳算法的收斂速度更快[10]；ALLEN 等，以管間距、擋板間距、殼程直徑和管外徑等為設計變量，建立了冷凝器費用的優化模型[11]；PATEL等采用粒子群優化，考慮管內外徑、擋板間距和管束布局等設計變量，對冷凝器年度總費用進行優化，其結果顯示，粒子群優化具有較高的準確性和收斂性[12]；NASR等開發了1 種新型蒸發式冷凝器設計方法，提供換熱面積、壓降以及傳熱傳質系數之間的關系，在最大允許壓降條件下，計算得到最小換熱面積，減少了試算次數[13]。

基于Kern 方法，GON?ALVES 等采用混合整數非線性優化來最小化換熱面積，發現大多數情況下模型不收斂[14]。設計變量均為離散值，他們將混合整數非線性模型轉化為混合整數線性模型，實現了全局求解。此外，GON?ALVES 等根據換熱器機械部件的標準值，定義了多個二進制變量來組合離散的設計變量，加快了混合整數線性模型的求解[15]；GON?ALVES等又基于Bell-Delaware方法建立混合整數線性模型，實現了年度總費用的最小化優化[16]。LEMOS 等開發了集合修建算法，利用不等式約束順序消除不可行得到換熱器設計變量，以最小化換熱面積為目標，經過算例測試表明，該方法大幅提高了計算效率[17]。PEREIRA 等將冷凝器的混合整數非線性規劃轉換成為整數線性模型，采用整數線性求解，該模型不需要初始值，同時避免了局部優化解[18]。

在以上研究中，現有的算法能夠在一定程度上解決冷凝器的設計問題，但是他們都不能完全保證得到解的全局優化性，雖然采用隨機優化方法或添加隨機算子可以避免陷入局部最優，但需要多次嘗試才能實現，結果也需要進一步驗證。此外，很多文獻中的方法依賴于人工提供初值，對參數進行多次調整，這使得很多算例的求解過程及結果無法重現。同時，初值的選擇會極大地影響算法的求解速度，無法保證算法的收斂性能。

針對上述問題，筆者首先介紹了冷凝器詳細設計的數學模型，包括熱力學和水力學方程，以及最小化換熱面積和冷凝器功耗的目標函數等。采用文獻[18]中算例，以面積最小化為目標進行優化計算，將計算結果與文獻比較分析，然后以最小化冷凝器功耗為目標進行計算，求出不同換熱面積條件下的最小冷凝器功耗，進行功耗與換熱面積間的權衡。另外，還進行了冷凝器功耗與換熱面積的權衡，給出在冷凝器操作費用方面表現更優的設計方案。

1 數學模型

根據冷凝器布置的空間方向（水平或垂直），管殼程中冷熱物流分配，管殼式冷凝器主要有4種類型，即殼程冷凝的臥式換熱器、管程冷凝的臥式換熱器、殼程冷凝的立式換熱器和殼程冷凝的立式換熱器。以殼程冷凝的臥式換熱器為例，開發冷凝器詳細設計的新方法。

研究基于以下幾點假設：1）冷凝器殼程為E型；2）殼程物流冷凝只發生相變，進出口前后溫度保持不變；3）管程冷卻劑為湍流，且不發生相變；4）物性參數恒定，取平均溫度下的數值。

在優化模型的描述中，初始給定、無需優化的參數，其頂部帶有符號“?”。

1.1 符號含義

1）參數。?exc，面積裕量；?，相關參數；?pt，管程物流比熱容；?，重力加速度；ks，殼程導熱系數；kt，管程導熱系數；ktube，管壁導熱系數；ms，殼程質量流量；Q，熱負荷；mt，管程質量流量；Prt，管程普朗特數；Rfs，殼程熱絕緣系數；Rft，管程熱絕緣系數；Tcl，冷物流入口攝氏溫度；Tco，冷物流出口攝氏溫度；Thl，熱物流入口攝氏溫度；Tho，熱物流出口攝氏溫度；vsmax，殼程最大流速；vsmin，殼程最小流速；vtmax，管程最大流速；vtmin，管程最小流速；Hvap，汽化質量焓；Δpsdisp，殼程允許壓降；Δptdisp，管程允許壓降；ΔTlm，對數平均溫差；μs，殼程冷凝水黏度；μt，管程冷凝水黏度；μvs，殼程蒸汽黏度；ρs，殼程冷凝水密度；ρt，管程物流密度；ρvs，殼程蒸汽密度；?v0，平均兩相壓降系數；η，電機效率。

2）變量。A，實際換熱面積；Ar，殼程流動面積；Areq，所需換熱面積；Deq，等效直徑；Ds，殼程直徑；dte，管外徑；dti，管內徑；FAR，自由面積比；Fs，殼程摩擦系數；Ft，管程摩擦系數；FSC，冷凝器結構系數；FTC，管束修正系數；hs，殼程傳熱系數；ht，管程傳熱系數；K，壓降參數；Klay，管束布局參數；L，管長；lbc，擋板間距；ltp，管間距；Nb，擋板數量；Npt，管程數；Ntp，每次物流流動通過的管數；Ntt，總管數；Nut，傳熱單元數；Res，殼程雷諾數；Ret，管程雷諾數；U，總傳熱數；vs，殼程流速；vt，管程流速；W，冷凝器功耗；Δps，殼程壓降；Δpsv0，入口條件相關的殼程壓降；Δpt，殼程壓降；rp，間徑比。

1.2 冷凝器數學模型

1.2.1 管程熱力學方程及水力學方程

湍流時，管程的熱力學方程為：

式中，管束布局參數Klay，三角形、正方形布局時分別取0.866、1.0。FTC取值見表1。

表1 管束修正系數取值Tab 1 Tube bundle correction factor value

FSC與冷凝器頭型相關，當＞0.337 m時，其取值見表2。

表2 結構參數取值Tab 2 Structure factor value

管程的水力學方程為（忽略了接管處的壓降）：

式中，壓降參數K，單管程時取0.9，雙管程或多管程時取1.6。

管程摩擦系數的計算：

1.2.3 總傳熱系數方程

1.2.6 冷凝器功耗方程

冷凝器功耗的計算：

式中，電機效率η取75%。

1.3 約束條件

為保證模型中方程的有效性以及冷凝器的正常工作，該模型的約束有熱力學、水力學約束，流速約束以及結構約束。

1.3.1 熱力學、水力學約束

管程和殼程的壓降需在允許范圍內：

對流速也做一定的限制：

為保證殼程和管程方程的有效性，對雷諾數也做出限制：

為保證生產安全以及冷凝器的正常運行，實際生產中一般都會設定裕量，使冷凝器有額外的換熱面積，實際換熱面積應滿足條件：

1.3.2 冷凝器結構約束

擋板間距與殼程直徑約束為：

1.4 目標函數

目標函數為：1）MinA；2）MinW。

2 案例研究

2.1 案例介紹

研究的算例程序均在GAMS 24.2.3中運行。對于設計變量為離散變量的算例，可以采用枚舉法進行求解。其方法原理為：先計算出所有可能的目標函數值，然后再設置相關的約束條件，求出符合條件的目標函數值，進而給出相關的設計變量。此方法的求解空間為全局，因此保證了解的全局最優性；同時，枚舉法要計算出所有的目標函數可能值，所有不需要給定初始值。

理論上所有設計變量為離散變量的算例均可采用枚舉法，但因為枚舉法要計算出所有可能的目標函數值，所以對于設計變量過多的算例，其計算耗時較長。

該算例是1個用于冷凝純丙酮的蒸餾塔頂冷凝器，由SMITH等提出，PEREIRA等對其進一步求解[18,20]。為保證換熱面積與PEREIRA等的結果等效比較，本案例優化時，不考慮額外的面積裕量，即?exc=0，同時管壁厚取2 mm，管壁的導熱系數ktub取45 W/(m·K)。

表3給出設計變量的集合，這些離散值符合商業標準。表4給出冷熱物流的物性參數（其中流速范圍及允許壓降由PEREIRA等給出）。數值在模擬過程中保持不變，取平均溫度下的值。

表3 設計變量的集合Tab 3 Collection of design variables

表4 物流數據及物性Tab 4 Stream data and physical properties

2.2 最小化換熱面積

根據表4，以最小化換熱面積為目標優化，所得的結果見表5。

表5 換熱面積優化結果Tab 5 Optimization results of heat exchange area

采用枚舉法，因為要計算出所有可能的目標函數值，故與采用求解器的PEREIRA 等相比，其計算過程較慢。

所采用的優化方法得到了比文獻更小的換熱面積，為99.3 m2，但與文獻相差不大，僅減小了1.29%，原因是在優化過程中考慮了冷凝器頭型變量，而文獻在優化前就指定冷凝器頭型為浮頭式。優化結果選用的冷凝器頭型為固定管板式，針對該算例而言，物流溫度壓力并不是高溫高壓，采用固定管板的冷凝器頭型滿足生產需求的同時費用較低，明顯更加符合生產實際。

在管數方面，得到的優化解為360，與文獻相差較大，減少了34.17%。所得到的管束布局方式為正方形布局，雖然正方形布局在同等換熱面積下的布管數少于三角形布局，但在能滿足生產需要的條件下，采用正方形布局以及更低的管數，降低了布管的難度，降低了冷凝器的體積與重量，減少冷凝器的費用，更符合實際生產需求。

優化所得的管程壓降為65.28 kPa，殼程壓降為18.20 kPa，與文獻的48.93 kPa和16.73 kPa相比較高。因為優化結果選取的擋板數量為9，相比文獻偏大，故導致得到的殼程流速為28.4 m/s，比文獻的24.3 m/s更高，殼程流速較大使殼程壓降高于文獻。而管程壓降較高則是因為優化取的管外徑和管長比文獻大，導致了管程物流流速2.5 m/s 比文獻的2.2 m/s 較高，提升了管程壓降。雖然優化結果的管程、殼程壓降均比文獻大，但也仍在允許壓降范圍內。

優化所得的管、殼程傳熱系數分為10.67、1.331 kW/(m2·K)，總傳熱系數為0.788 0 kW/(m2·K)，與文獻相差不大，這也使優化換熱面積只是略小于文獻的原因。

2.3 功耗與換熱面積的權衡

在該算例的優化中存在冷凝器頭型的選擇，不同冷凝器頭型的費用相差較大，以冷凝器總費用為目標進行優化可能會導致冷凝器頭型在優化中比例過大，因此為了盡可能體現所有設計變量對于冷凝器設計的影響，在設計約束條件下，增加換熱面積的限制，選擇以最小化冷凝器功耗為目標進行優化，求出不同換熱面積條件下的最小冷凝器功耗。不同換熱面積下最小冷凝器功耗見圖1。

圖1 不同換熱面積下的最小功耗Fig 1 Minimum power consumption under different heat exchange areas

從圖1可以看出，功耗隨著換熱面積的增加不斷下降。在100～105 m2內波動下降，在105 m2之后逐漸趨于恒定。該算例中的管程流量及壓降均遠大于殼程，而壓降又由流速控制，根據式(25)可知，在冷凝器功耗計算中，功耗主要是由管程流速控制。當換熱面積限制在100～105 m2時，距離優化結果給出的最小換熱面積較近，此時最小化冷凝器功耗，滿足設計約束與換熱面積限制的解較少，在滿足限制的條件下，管程流速距離vtmin較遠，導致此階段管程流速較高且波動明顯，所以圖1中冷凝器功耗呈現大幅度的不規則波動。當換熱面積取大于105 m2后，滿足設計約束與換熱面積限制的解增加，此時最小化冷凝器功耗，管程流速普遍會更加接近vtmin，進而使冷凝器功耗降低且趨于穩定。

圖1中A點為最小化換熱面積所得數據點，即優化結果數據點，可見最小化換熱面積所得結果對應的冷凝器功耗最大，因此考慮到冷凝器操作費用等實際問題時，有必要將面積和功耗等因素同步考慮。

基于上述分析，選取B點情況下的設計變量作為權衡后的結果，給出冷凝器功耗與換熱面積進行權衡后的設計方案，見表6。

表6 權衡結果Tab 6 Compromise result

由表6可以看出，在此設計方案條件下，對比最小換熱面積條件下的功耗6.18 kW，冷凝器功耗降低了78.80%，而換熱面積僅增加了3.73%，綜合考慮權衡方案在冷凝器操作費用方面表現應優于最小換熱面積方案。

3 結 論

與文獻[18]相比，采用枚舉法的優化方法，無需設定初始值，還可以保證解的全局優化性；同時優化過程中還考慮了冷凝器頭型對于換熱面積的影響，給出了更加符合實際的最小換熱面積設計方案。

筆者提出的1種管殼式冷凝器詳細設計的新方法。該方法不依賴于商業求解器，無需設定初始值，且能保證設計解的全局最優性。

以最小化換熱面積為求解目標，得到結果與文獻對比發現，頭型的選擇對冷凝器換熱面積影響并不明顯，但可能影響到冷凝器的管束排布方式，同時考慮到冷凝器頭型的優缺點及物流屬性，頭型選擇對優化結果仍有重要的影響。

還以最小化冷凝器功耗為目標進行優化，得到不同換熱面積條件下的最小冷凝器功耗，進行功耗與換熱面積間的權衡，最終給出了權衡后的設計方案。權衡后的設計方案條件下，冷凝器功耗為1.31 kW，比最小換熱面積條件下的功耗降低了78.80%，而換熱面積僅增加了3.73%。