學(xué)生“見(jiàn)多就加，見(jiàn)少就減”數(shù)學(xué)現(xiàn)象的破解之道

于勇

［摘要］ “比較減”是小學(xué)低段數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大難點(diǎn)，不少學(xué)生僅就表面字意，見(jiàn)多就加，見(jiàn)少就減，慣性思維與經(jīng)驗(yàn)解法在一定時(shí)期內(nèi)束縛著他們。在深度思考、問(wèn)題診斷的基礎(chǔ)上，利用語(yǔ)言表征、動(dòng)手操作、畫(huà)圖轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)抽象等策略實(shí)施針對(duì)性教學(xué)重構(gòu)，幫助學(xué)生構(gòu)建“比較減”的數(shù)學(xué)模型，破解“見(jiàn)多就加，減少就減”的數(shù)學(xué)現(xiàn)象。

［關(guān)鍵詞］ 比較減；問(wèn)題診斷；意義轉(zhuǎn)換；課堂實(shí)踐

“見(jiàn)多就加，見(jiàn)少就減”是小學(xué)低段學(xué)生在解決“比較減”問(wèn)題過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤現(xiàn)象。這主要是因?yàn)閷W(xué)生不分析、不理解其中的數(shù)量關(guān)系，僅憑借問(wèn)題中的“多幾”“少幾”等關(guān)鍵詞句機(jī)械選擇用加法還是用減法去解決問(wèn)題。此種狀態(tài)下的學(xué)習(xí)很難使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)揮作用，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的培育與進(jìn)階。為此，筆者圍繞蘇教版一年級(jí)下冊(cè)“比較減”這一教學(xué)內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)對(duì)比分析、數(shù)學(xué)表達(dá)、動(dòng)手操作、抽象概括等數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，快速?gòu)摹耙?jiàn)多就加，見(jiàn)少就減”的慣性認(rèn)知中跳躍出來(lái)，能夠基于數(shù)學(xué)理解與分析思考的視角去探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟解決問(wèn)題的一般模型與基本方法。

一、透析現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

“在學(xué)校慶‘六一’及社團(tuán)成果匯展活動(dòng)中，老師們?cè)谛@門(mén)口兩邊擺放了12盆紅花和7盆藍(lán)花，紅花比藍(lán)花多幾盆？藍(lán)花比紅花少幾盆？”像這樣比較兩個(gè)量相差多少的計(jì)算，通常稱(chēng)之為“比較減”。“比較減”是小學(xué)減法計(jì)算教學(xué)內(nèi)容中比較難理解、難掌握的一種解決問(wèn)題情形，蘇教版教材將之安排在一年級(jí)下冊(cè)第四單元“100以?xún)?nèi)的加法和減法（一）”。教材以?xún)蓚€(gè)學(xué)生抓花片、比多少活動(dòng)為探索情境，以問(wèn)題“哪一種花片抓得多，多多少個(gè)”為引領(lǐng)，讓學(xué)生借助不同顏色花片擺一擺、比一比，再以此為基礎(chǔ)列式計(jì)算、解決問(wèn)題。

教學(xué)時(shí)，多數(shù)老師先引導(dǎo)學(xué)生用“一一對(duì)應(yīng)”的方法，擺一擺兩種顏色的花片，通過(guò)觀察解決兩種花片哪一種多、哪一種少的問(wèn)題。然后，在排列出的花片上做出適當(dāng)標(biāo)記，并在文字下方寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)，以此幫助學(xué)生理解“紅花片比藍(lán)花片多多少個(gè)”，就是求13比8多幾，進(jìn)而列出算式13-8=5（個(gè)）。最后，進(jìn)一步追問(wèn)：藍(lán)花片比紅花片少多少個(gè)？把探究重點(diǎn)放在對(duì)這一問(wèn)題與前面已經(jīng)解決的問(wèn)題實(shí)質(zhì)相同的理解上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩者只是說(shuō)法呈現(xiàn)不同而已，紅花片比藍(lán)花片多5個(gè)，也可以說(shuō)成藍(lán)花片比紅花片少5個(gè)。

在直觀觀察、抽象理解、比較分析的基礎(chǔ)上，筆者同樣使用了老師們慣用的教學(xué)妙招：先讓學(xué)生圈出重點(diǎn)詞“比多”“比少”，同時(shí)要求他們牢牢記住比多、比少都要用減法，方法就是“相差數(shù)=大數(shù)-小數(shù)”。整個(gè)教學(xué)過(guò)程看似環(huán)環(huán)相扣、異常順利，表面上看起來(lái)學(xué)生對(duì)“比較減”的理解、掌握也非常輕松到位，可在隨后的跟蹤練習(xí)中，多數(shù)學(xué)生見(jiàn)了“比多”就用加法解決，見(jiàn)了“比少”就用減法計(jì)算，不加思考地套用原有經(jīng)驗(yàn)與基本程序去解決問(wèn)題，基本把所得新知置于一旁。

二、深度思考，分析診斷

“比較減”與學(xué)生已經(jīng)建立的加減法結(jié)構(gòu)有什么不同？對(duì)此學(xué)生為什么理解、掌握如此困難？要解釋這些問(wèn)題，需要對(duì)“比較減”進(jìn)行深入分析。

（一）“比較減”涉及兩個(gè)不同類(lèi)量的運(yùn)算

在學(xué)習(xí)“比較減”問(wèn)題之前，從運(yùn)算的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)上看，學(xué)生學(xué)習(xí)的加法類(lèi)型有“添加”，如王浩現(xiàn)有12枚心愿卡，老師又獎(jiǎng)勵(lì)他3枚，他現(xiàn)在有多少枚心愿卡？“并加”，如劉健有11張賀卡，李萍有8張賀卡，他們一共有多少?gòu)堎R卡？減法有與“添加”互逆的“移除”，如學(xué)校花壇有16棵花，已經(jīng)澆了12棵，還剩下多少棵沒(méi)有澆？與“并加”互逆的“求總量中的某一部分”，如一共有13個(gè)蘋(píng)果，籃子外面有4個(gè)，籃子里面有幾個(gè)？這些加減法類(lèi)型中，涉及的都是同一類(lèi)量的運(yùn)算。而“比較減”中兩個(gè)量獨(dú)立存在，可以是同類(lèi)的，更可以是不同類(lèi)型的，只有通過(guò)兩者間的比較，才能建立它們之間的關(guān)系。如有16個(gè)小朋友，12把椅子，小朋友的人數(shù)比椅子的數(shù)量多多少？題目中的16個(gè)小朋友和12把椅子是兩類(lèi)獨(dú)立的量，需要把16個(gè)小朋友中的12個(gè)與12把椅子建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，抵消掉這12人，才能算出人數(shù)比椅子數(shù)多4。由此可見(jiàn)，與“拿走”“去掉減（整體、部分減）”相比較，“比較減”問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)更復(fù)雜，無(wú)疑會(huì)影響學(xué)生的數(shù)學(xué)思考與理解。

（二）關(guān)鍵詞句內(nèi)涵與運(yùn)算方法存有差異

實(shí)踐證明，低年級(jí)兒童在解決問(wèn)題時(shí)往往缺少對(duì)題目蘊(yùn)含數(shù)量關(guān)系的分析，對(duì)他們產(chǎn)生刺激的只是其中的某些字詞，他們正是依據(jù)這些字詞對(duì)問(wèn)題解決的計(jì)算方法做出選擇。“比較減”問(wèn)題中的“比多”“比少”是其中的關(guān)鍵詞句，也是引領(lǐng)學(xué)生架構(gòu)“比較減”意義與運(yùn)算方法的關(guān)鍵所在。在學(xué)生原有認(rèn)知與計(jì)算經(jīng)驗(yàn)中，“多”用來(lái)表示數(shù)量在增加，兒童便用加法對(duì)之做出反應(yīng)，于是選用加法計(jì)算，而“少”用來(lái)表示數(shù)量在減少，兒童便用減法對(duì)之做出反應(yīng)，于是選用減法計(jì)算。正是學(xué)生受到自身這一根深蒂固認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的負(fù)向影響，在解決“一個(gè)量比另一個(gè)量多幾”的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往就用加法計(jì)算，而在求解“一個(gè)量比另一個(gè)量少幾”問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)用減法計(jì)算。

（三）“比較減”問(wèn)題的表象積累相對(duì)匱乏

在前期比一比、識(shí)數(shù)等學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生雖然在“比較”“多少”等方面已經(jīng)積累了一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，但這些經(jīng)驗(yàn)或表象主要是針對(duì)“量”的，如誰(shuí)高誰(shuí)矮、誰(shuí)多誰(shuí)少，學(xué)生缺乏去掉背景后，通過(guò)運(yùn)算對(duì)數(shù)的大小進(jìn)行比較，并將比較結(jié)果呈現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)經(jīng)歷。反而，學(xué)生在個(gè)人生活與對(duì)減法意義的源頭認(rèn)識(shí)中，他們就對(duì)“移除、求部分”類(lèi)型的減法積累了大量的認(rèn)知表象，體悟也較為深入、深刻，當(dāng)遇到這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，自然就能迅速地從原有知識(shí)體系中提取模型并予以正確解答。教材或?qū)W習(xí)素材中的“移除、求部分”類(lèi)型的減法，一般多以圖形或圖文并茂的形式呈現(xiàn)，因其較為直觀形象，學(xué)生理解起來(lái)也相對(duì)簡(jiǎn)單。而在現(xiàn)實(shí)生活中與“比較減”結(jié)構(gòu)相關(guān)的問(wèn)題卻很少，學(xué)生在生活中體悟、使用這種減法的機(jī)會(huì)較為不足。即便是一年級(jí)上冊(cè)教材以問(wèn)題解決、動(dòng)手操作等形式做了諸多認(rèn)知鋪墊與素材孕伏，但大多是分散、零星、孤立的練習(xí)，很難引起教師的足夠重視。正是由于教師為之安排的操作活動(dòng)、認(rèn)知設(shè)計(jì)缺乏密集性、系統(tǒng)性，學(xué)生對(duì)于“比較減”的表象建構(gòu)與積累就會(huì)相對(duì)匱乏，勢(shì)必會(huì)給學(xué)生精致化學(xué)習(xí)帶來(lái)思維與理解上的障礙。

另外，“一一對(duì)應(yīng)”“抵消”這些教學(xué)用語(yǔ)對(duì)學(xué)生來(lái)講也太過(guò)抽象，他們對(duì)這些概念的認(rèn)識(shí)與理解幾乎處于零起點(diǎn)狀態(tài)，教學(xué)中如果直接利用這些專(zhuān)業(yè)語(yǔ)言組織教學(xué)，自然在無(wú)形中增加了學(xué)生認(rèn)知與理解的難度。

三、指向重構(gòu)，教學(xué)實(shí)施

基于以上分析，如果能把新知識(shí)“比較減”轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的“去掉、拿走”減，那么學(xué)生就在正向遷移與對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)改造、加工過(guò)程中較為簡(jiǎn)單地理解、解決“比較減”的相關(guān)問(wèn)題。對(duì)此，筆者進(jìn)行了大膽的實(shí)踐。

（一）在數(shù)學(xué)表達(dá)中明確題意

“比較減”主要是引導(dǎo)學(xué)生解決一個(gè)數(shù)比另一個(gè)多幾或少幾的問(wèn)題，不像求“一共”“剩余”問(wèn)題那樣易于理解，加之問(wèn)題表述較為繞口，使得部分學(xué)生根本不知道題目說(shuō)的是什么意思。可見(jiàn)，明確“比較減”問(wèn)題的題意是解決這類(lèi)問(wèn)題的首要一環(huán)，要引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)真觀察、細(xì)心讀題的基礎(chǔ)上全面獲取數(shù)學(xué)信息，明確是哪兩個(gè)量相比，相比較的兩個(gè)量哪個(gè)多、哪個(gè)少，知道哪個(gè)量比哪個(gè)量多，哪個(gè)量比哪個(gè)量少。

比如，在學(xué)校組織的“秀賢童心匯——趣味數(shù)學(xué)答題”比賽活動(dòng)中，一年級(jí)（1）班答對(duì)14道題，一年級(jí)（2）班只答對(duì)9道題。一年級(jí)（1）班比一年級(jí)（2）班多答對(duì)多少道題？一年級(jí)（2）班比一年級(jí)（1）班少答對(duì)多少道題？在解決這一問(wèn)題時(shí)，首先要讓學(xué)生知道一年級(jí)（1）班答對(duì)的題目多，一年級(jí)（2）班答對(duì)的題目少，然后引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題入手，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言明確表達(dá)“一年級(jí)（1）班比一年級(jí)（2）班多答對(duì)多少題”就是求“14比9多多少”；“一年級(jí)（2）班比一年級(jí)（1）班少答對(duì)多少題”就是求“9比14少多少”。解題過(guò)程分為審題、擬定解題計(jì)劃、執(zhí)行計(jì)劃和回顧反思四步，上述過(guò)程就是在分析題目中的已知條件和數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行初步的信息加工，為問(wèn)題解決計(jì)劃的擬定、策略的構(gòu)建做鋪墊。

（二）在動(dòng)手操作中建立表象

教學(xué)實(shí)踐表明，教師只有在學(xué)生理解“比較減”中兩個(gè)獨(dú)立量各是多少及大小關(guān)系的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)他們借助實(shí)物或用圖片代替實(shí)物反復(fù)進(jìn)行操作，才能有效完成對(duì)“一一對(duì)應(yīng)”下“抵消”表象的構(gòu)建。同時(shí)，教師巧妙利用“一一搭配”的生活語(yǔ)言代替“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)組織教學(xué)，更有利于進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)“比較減”的理解和掌握。如莉莉家有6件上衣，4件裙子，裙子比上衣少多少件？教學(xué)時(shí)，需要引導(dǎo)學(xué)生借助表示實(shí)物的圖片進(jìn)行動(dòng)手操作。無(wú)論是拿出4件上衣和裙子進(jìn)行“一一搭配”組成套裝，還是拿出4件裙子與上衣進(jìn)行“一一搭配”組成套裝，均會(huì)發(fā)現(xiàn)裙子還差2件與上衣全部“一一搭配”，為此可以列出算式6-4=2（件）。

在“一一搭配”的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)一說(shuō)6-4=2中各個(gè)數(shù)的意義，6表示6件上衣，4表示從6件中拿出去與裙子搭配組成套裝的4件上衣，2表示剩下的沒(méi)有和裙子搭配成套裝的上衣。另外，教師還可以提供有關(guān)水杯與水杯蓋、花瓶與花束等數(shù)據(jù)組成的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生重復(fù)經(jīng)歷動(dòng)手操作與語(yǔ)言表達(dá)等多感官體悟，進(jìn)一步助力學(xué)生建立“一一搭配”的數(shù)學(xué)認(rèn)知表象，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)“比較減”問(wèn)題的來(lái)龍去脈與本質(zhì)所在，使他們?cè)谡J(rèn)知層級(jí)上獲得更為全面、深刻的理解。

（三）在畫(huà)圖轉(zhuǎn)換中解決問(wèn)題

“畫(huà)圖”作為一種重要的數(shù)學(xué)表征方式，能夠?qū)⒊橄髷?shù)學(xué)問(wèn)題中的基本信息及邏輯關(guān)系予以直觀化、具體化呈現(xiàn)，有利于學(xué)生從中尋找解決問(wèn)題的基本策略。基于小學(xué)低段學(xué)生的數(shù)學(xué)思維特點(diǎn)與“比較減”的認(rèn)知需要，更需要將“畫(huà)數(shù)學(xué)”融入課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在浸潤(rùn)式學(xué)習(xí)場(chǎng)域中完成從“比較減”向“去掉減、拿走減”這一前概念意義的轉(zhuǎn)換。如兔媽媽拔了7根紅蘿卜，15根白蘿卜，她拔的白蘿卜比紅蘿卜多幾根？紅蘿卜比白蘿卜少幾根？教學(xué)時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生用畫(huà)圖的方法解決問(wèn)題。在求解“白蘿卜比紅蘿卜多幾根”的問(wèn)題時(shí)，就需要拿出白蘿卜去與紅蘿卜一一搭配，一共拿出7根白蘿卜和紅蘿卜進(jìn)行搭配，還剩下8根白蘿卜，學(xué)生自然就可以順利地解決問(wèn)題。這時(shí)，再引領(lǐng)學(xué)生借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言巧妙地把“比較減”問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成“從15根白蘿卜中拿出去7根與紅蘿卜進(jìn)行搭配，還剩下多少根白蘿卜沒(méi)有一一搭配”的“去掉減、拿走減”，15、7、8三個(gè)數(shù)字所表示的意義也隨之變得清晰可見(jiàn)。

在求解“紅蘿卜比白蘿卜少幾根”的問(wèn)題時(shí)，需要拿出7根紅蘿卜與15根白蘿卜中的7根一一搭配，學(xué)生自然也會(huì)發(fā)現(xiàn)還差8根紅蘿卜就可以與白蘿卜一一搭配，紅蘿卜比白蘿卜少的根數(shù)其實(shí)就是沒(méi)有參與搭配的白蘿卜的根數(shù)， 也就是從15根白蘿卜中去掉參與搭配的7根白蘿卜后剩余的根數(shù)，同樣將“比較減”轉(zhuǎn)化成了“去掉減、拿走減”。

（四）在比較抽象中構(gòu)建模型

當(dāng)學(xué)生解決上述問(wèn)題后，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)問(wèn)題的算式是一模一樣的，教師需要引導(dǎo)學(xué)生借助剛才的畫(huà)圖過(guò)程思考這是為什么。學(xué)生認(rèn)識(shí)到“白蘿卜比紅蘿卜多幾根”與“紅蘿卜比白蘿卜少幾根”，只是問(wèn)題描述的方式不同，但表示的意義是一樣的，解法也是一樣的，都是求沒(méi)有參與搭配的白蘿卜的根數(shù)。算式中的15表示15根白蘿卜，7表示從中拿出去和紅蘿卜搭配的白蘿卜根數(shù)，8表示剩余的沒(méi)有參與搭配的白蘿卜根數(shù)。這時(shí)，再抽象概括“比較減”的基本算法就變得水到渠成了。求解一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多幾、少幾的問(wèn)題都是求沒(méi)有參與搭配的部分，進(jìn)而列出算式“較大數(shù)-參與一一搭配的數(shù)=沒(méi)有參與搭配的數(shù)（相差數(shù)）”。

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于 勇? ?蘇州大學(xué)附屬吳江學(xué)校，高級(jí)教師，山東省特級(jí)教師。