數學應用：撬動學生深度學習的支點

張正英

［摘? 要］ 數學應用是撬動學生深度學習的支點。作為教師，要營造應用的氛圍，立足學生的思維，著力引導學生探究，并對學生的數學應用進行積極的評價。對數學知識的深度應用呼喚著數學教學走向整合、走向整體、走向結構、走向系統。教學中，教師要引導學生全身心投入、全方位建構、全息性感受與體驗。通過數學應用，生成學生的數學智慧，讓學生的數學學習深度發生。

［關鍵詞］ 數學應用；教學策略；深度學習

學生的數學學習不僅僅是習得的過程，更是應用的過程。學生的數學應用，不僅是指“寫數學”的作業活動，還包括“說數學”“做數學”等活動；不僅包括學生的實際應用，還包括學生的審美應用。在小學數學教學中，教師要從學生的學習力提升、數學核心素養立場出發，引導、啟發學生的數學應用。數學應用是撬動學生深度學習的支點。作為教師，要引導學生全身心投入、全方位建構。通過數學應用，生成學生的數學智慧，讓學生的數學學習深度發生。

[?]一、變“消極應用”為“積極應用”

數學應用是學生深刻認識數學知識本質的重要方式，是培育學生數學核心素養的最直接、最有效的學習方式。在小學數學教學中，教師要鼓勵學生應用，激發學生的應用興趣，調動學生的應用積極性，讓學生從傳統的數學“消極應用”轉變為“積極應用”。積極應用的過程是學生數學審視、數學質疑、數學批判的一個過程。在數學教學中，教師要引導學生全身心投入，積極主動地尋求解決問題的方法。

積極的應用過程是學生對相關數學知識進行深度加工、精加工的過程。在引導學生積極應用的過程中，教師要變學生的低階認知為高階思維。要聚焦數學知識的本質，磨煉思維。比如教學“比的基本性質”（蘇教版六年級上冊）之后，教師可以一改傳統的由教師出題、學生答題的方式，讓學生出題。相較于教師出題，學生出題的樣式更豐富、更生動、更具多樣性。如我校一位教師在教學“比的基本性質”之后，就提出了這樣的問題：比的基本性質有什么作用？這樣的問題能引發學生的積極思考，推動學生的類比思維。有學生說，“分數的基本性質可以用來化簡分數，比的基本性質應該可以用來化簡比”；有學生說，“化簡分數要求化成最簡分數，我想，化簡比也應該化成最簡比”。在學生積極猜想的基礎上，學生設計、研發了諸多的化簡比的類型，諸如整數比如何化簡、分數比如何化簡、小數比如何化簡等。還有學生想到了混合比（比的前項和后項分別是小數和分數等）如何化簡、數量比（比的前項和后項有不同的單位）如何化簡等。這樣的一種問題設計，就將學生推向了數學應用的前臺。學生不是消極地等待教師出題，而是根據所學的內容，根據自己的已有知識經驗來設計、研發習題。相較于教師出題，學生出題更能彰顯學生數學學習的主動性、積極性、創造性，更能激發學生的數學思考、探究潛質。

積極應用關注學生在數學學習中的樣態，關注學生在數學學習中的個體表達。通過積極的應用，學生能夠建構數學知識與相關問題的關聯，能提煉出針對不同問題的解決問題的圖式、策略、模式等。在積極主動地設計、研發相關問題的過程中，學生掌握了數學知識的本質，生成了數學思考、探究的智慧，邁向了數學的深度學習樣態。

[?]二、變“淺層應用”為“深層應用”

學生對數學知識的應用有“淺層應用”和“深層應用”兩種。一般來說，淺層應用就是指學生對數學知識的簡單的、基礎性的直接應用。深層應用就是學生對數學知識復雜的、靈活的、變式性的應用。相較于淺層應用，深層應用更具挑戰性，也更具有趣味性。在深層應用的過程中，教師可以培養學生的數學思考力、批判力和創新力。

在深層應用數學知識的過程中，學生不僅僅是數學知識的回憶者、模仿應用者，更是數學知識的創造應用者。作為教師，要引導學生從問題中搜集關鍵條件、證據，引導學生將條件和已學知識建立關聯，從而幫助學生逼近數學知識的本質，生成學生的數學應用智慧。可以這樣說，每一次的數學應用尤其是變式性的應用，都是從不同的層面、側面來凸顯數學知識的本質內涵，都是從知識的表層意義潛入知識的深層意義的過程。在深度應用的過程中，學生不再在知識的表層滑行，而是對數學知識有了深刻的感受、體驗、感悟。比如在教學“梯形的面積”（蘇教版五年級上冊）這一部分內容時，簡單性、淺表性的應用就是已知梯形的上底、下底、高，直接套用梯形的面積公式求出梯形的面積；有一定深度的應用是要求學生“反其道而行之”，也就是已知梯形的面積、上底、下底，求出梯形的高；而創造性的應用則是一種實際的變形性的應用，如已知一堆鋼管的最上面一層的根數、最下面一層的根數以及層數，要求這堆鋼管的總根數等。借助深層次的數學應用，能讓學生對數學知識的理解產生一種豁然開朗、茅塞頓開的感受與體驗。深層應用是建立在學生身體、心理、認知與情感等交互統一、感應的基礎上的。對數學知識的深層應用能讓學生的數學認知與數學情感水乳交融，不僅能讓學生獲得一種耳目之愉，還能讓學生獲得一種心神之悅。

一般來說，深層應用往往伴隨著學生的創造性思維。對于學生的深層應用，教師要積極地予以反饋、評價。在評價的過程中，教師要變傳統的預設教學為學生積極的、主動的互動參與。合理的、科學的評價能促進學生的數學應用。在發散學生數學思維的同時，要深化學生的數學學習行為，從而讓學生的數學學習行為更活躍、更靈動、更開放。

[?]三、變“單一應用”為“多維應用”

良好的數學應用不僅著眼于數學知識（包括概念、判斷等）的單一層面的一種性質、屬性，還要引導學生進行全面、綜合的應用。這樣的一種綜合、全面的應用，筆者稱之為“多維應用”。多維應用不僅能完善學生的數學認知結構，還能發展學生的數學關鍵能力和必備品格。在多維應用的過程中，教師要引導學生進行積極的遷移。在遷移的過程中引導學生判斷、提取、總結、應用、累積等。

多維性的數學應用具有一種全息性，也就是說，多維應用能讓學生從各個層面對數學知識形成一種洞悉、洞察。多維性的數學應用應當遵循著由淺入深、由小到大、由少到多、由單一到整體的過程。數學應用不應當是機械的、盲目的、線性的，而應當是靈動的、多維的、綜合的、立體的一個過程。傳統的數學應用，往往是數學知識的直接汲取，而深層應用則是數學知識的積極思維與聯想、想象等。比如教學“分數乘法應用題”（蘇教版六年級上冊）這一部分內容時，很多教師都是遵循教材的基本教學要求，反復地出示一些“已知單位‘1的量”“求一個數的幾分之幾是多少”的問題。這樣的問題，容易讓學生形成解決問題的套路，甚至形成固化思維、慣性思維等，不利于學生對問題展開真正的、具體的分析。筆者在教學中，借助“分數的意義”以及“分數與份數”之間的關系，將“分數除法應用題”乃至“稍復雜的分數乘除法應用題”引入其中，不斷拓展學生的思維。在這個過程中，學生不再機械地套用解決問題的模式，而是積極主動地展開分析：誰是單位“1”的量？單位“1”的量已知還是未知？怎樣解決這樣的問題？學生借助題目中的分率，以及分率與平均分的份數、表示的份數等之間的內在關聯，積極主動地展開分析，從而解決問題。在這個過程中，學生的問題解決不再依賴于模式、套路，而是展開靈動的思維、探究。學生能夠對數學知識進行積極主動的取用，進而實現了數學知識的相互轉化、積極遷移。

深層應用是學生數學學習的重要方式。作為教師，要營造應用的氛圍，立足于學生的思維，著力引導學生探究，并對學生的數學應用進行積極的評價。在引導學生進行數學知識的深層應用過程中，教師要讓學生成為發現者、探索者。要引導學生用數學的眼光看世界，用數學的大腦考量世界。對數學知識的深層應用呼喚著數學教學走向整合、走向整體、走向結構、走向系統。當學生的數學學習需求、數學學習實踐等連為一體時，學生的數學深度學習就會真正發生。