指向問題解決能力的數學學習活動框架及實踐策略

王 薇， 張 靜

(1.北京教育科學研究院， 北京 100049；2.北京市一零一中學石油分校， 北京 100049)

在數學教育中，問題解決能力是指“能解決帶有實際意義的和有關學科中的數學問題以及解決生產和日常生活中的實際問題的能力”[1]，是數學能力的重要組成?；诨顒永碚摰暮诵乃枷?，提出促進數學問題解決能力的學習活動框架及實施策略，旨在更好地培養學生的數學問題解決能力。

一、數學問題解決能力的基本要求

(一)問題解決能力的含義分析

我國2011年數學課程標準的總目標提出，通過數學學習學生能體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力[2]。在總目標的具體闡述中提出，學生初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力；獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識；初步形成評價與反思的意識。

問題解決能力與應用意識密切關聯。應用意識的內涵有兩方面：一是有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題；二是認識到現實生活中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決。在整個數學教育的過程中都應該培養學生的應用意識，綜合實踐活動是培養應用意識很好的載體。

(二)問題解決能力的目標要求

我國對義務教育階段學生數學問題解決能力的發展目標，從發現和提出問題、分析和解決實際問題、體驗方法的多樣性、分析問題和解決問題的方法、檢驗解決過程、評價與反思、數學與其他學科和生活的聯系、數學概念和數學知識等方面提出要求，其中“發現和提出問題”要求“初步學會”，“分析和解決實際問題”要求“綜合運用”，“解決問題方法的多樣性”要求“經歷體驗”，“分析問題和解決問題的方法”要求“掌握”，“評價與反思”要求“形成意識”，“數學與其他學科和生活的關聯”要求“體會聯系”等。

二、指向問題解決能力發展的數學學習活動內涵及功能

(一)指向問題解決能力的數學學習活動內涵

由維果茨基、列昂捷夫提出并發展的活動理論認為，活動在知識技能內化過程中起到橋梁性作用?；顒酉到y中包含三個核心要素和三個次要要素，分別是主體、客體、共同體，工具、規則、分工[3]。在活動理論視角下，“活動”具有四個基本特征：活動總是由主體實現的；活動是主體與客體的交互作用；活動總是創造性的；活動是獨立的[4]。

活動理論為教學設計分析學習過程和結果提供了新的視角。它關注的不是知識狀態，而是學生參與的活動、學生在活動中使用的工具、活動中合作學習者的社會關系和情境化的關系、活動的目的和意圖以及活動的客體或結果[5]。基于活動理論的基本思想，指向問題解決能力的學習活動的內涵，是指將抽象的數學知識向真實世界和真實問題的任務轉化，使課堂教學成為以解決任務為中心的活動，學生通過操作、游戲、匯報、表演等方式參與任務探究，從而獲得知識，發展問題解決能力。

(二)指向問題解決能力的數學學習活動原則

在內涵界定和基本框架下，提出促進數學問題解決能力發展的學習活動的實施原則：第一，把握知識本質。數學知識是基礎，問題解決能力的培養需要引導學生感悟知識的本質，體會知識的聯系。第二，創設問題情境。問題情境是載體，問題解決能力的發展需要建立在學生對現實世界的思考和經驗積累之上，要在與學生現實生活相關的情境中獲取知識。第三，建立共同體。合作性“學習活動”可以為每個成員提供良好的知識資源，學習共同體使每個成員能夠從中獲得更多的知識[6]。共同體的建立不僅要依據每個學生的學業基礎，而且要依據他們的思維類型和認知傾向。關注共同體參與者的不同觀點，使其充分表達與對話。第四，關注學生學習過程?；顒舆^程是關鍵，問題解決能力的對象是學生，教師不必過分關注自己的講課技巧，而應更多關注學生的思考、探究、交流等學習過程?；顒舆M程的動態性使得課堂上經常出現預期外的新問題和新觀點，對學生知識和能力的形成具有重要價值，教師需要及時捕捉、正確評價并加以利用[7]。

(三)指向數學問題解決能力發展的學習活動功能

1.增加了將數學應用于數學以外的情境中的機會

促進數學問題解決能力發展的學習活動模式，提倡以活動為載體開展課堂教學，活動不僅融合了數學內部相互聯系的諸多知識，而且涉及數學以外的其他知識，幫助學生認識到數學既可以與其他學科建立聯系，如數學與自然科學、社會科學、醫學、金融和商業之間的聯系，也可以與日常生活建立聯系，讓學生有足夠的機會體驗在一個特殊情境中數學是怎樣發揮作用的，增強學生對數學應用價值的體會。比如教師可以設計一個天氣方面的科學活動，讓學生在測量數據、觀察數據、分析數據、交流數據的活動中，體會運用數學知識解決實際問題的過程，掌握運用數據的方法和思路。

2.幫助學生建立起嚴密的問題分析框架

促進數學問題解決能力發展的學習活動模式，要求教師每節課都要設計具有情境的數學學習活動，有助于培養學生運用數學的思路分析實際情況的能力[8]。學生不僅能夠建立起一套抽象的解決問題的路徑，而且能夠學會在眾多復雜方法之中選擇簡單的解決問題的方法。在解決情境化的學習任務過程中，學生需要系統地考慮各種方法的可能性，通過記錄、比較和篩選，確定最優的解決方案。同時，與傳統課堂上設計的問題情境不同，促進數學問題解決能力發展的學習活動任務具有很強的開放性和復雜性，與現實生活中的實際問題非常相近。為了解決這些任務，學生就需要對復雜的情境不斷抽象，運用數學語言進行表征，進而建立起嚴密的問題分析框架，學會分析問題和解決問題的思路。

3.促進學生形成自我反思和自我評價的意識

促進數學問題解決能力發展的學習活動模式中，反思是一個重要的教學策略。通常在一節課的課中或下課前，教師會帶領學生做反思，反思的一個重要目的就是幫助學生實現自我監控和自主學習。比如在反思中教師會引導學生提出以下若干問題：“在開始之前，我已經確認我理解這個問題嗎？”“我有哪些方法可以選擇？”“我有進步嗎？”“我有計劃嗎？”“為什么我采用的方法是可行的和正確的？”類似的這些問題能夠幫助學生養成對問題理解和反思的習慣，促進學生元認知的發展。

三、促進數學問題解決能力的學習活動實踐策略

(一)1～3年級以游戲化、體驗式為主

1.設計游戲化的學習活動

小學低年級的學生，由于年齡特點的限制，游戲仍然是他們最為感興趣的活動形式。教師在設計學習活動時，可針對低年級學生的年齡特點和思維特征，設計學生喜歡的游戲，將抽象復雜的知識融入生動活潑的游戲當中，讓學生邊“玩”邊學。游戲的作用，在于激發、喚醒學生對于學習的熱情和動力，讓學生在游戲中理解知識、運用知識。通過游戲的參與，學生課堂學習的積極性明顯提高，對知識的理解力得到提升，學習獲得感增強，從而真正實現“友善”地學習。比如，在“混合運算”的教學中，教師可設計“跳蚤市場”的游戲：讓學生準備一些舊書或舊玩具作為商品，用彩紙代替貨幣，一部分學生扮演售貨員，一部分學生扮演購物者。通過購物游戲，學生加深了對混合運算法則的理解，同時培養學生運用數學知識發現問題和解決問題的能力，幫助學生體會到學習數學的價值。再如，在“數的比較”的教學中，教師可設計師生比猜的游戲：先讓學生寫一個兩位數，教師寫一個三位數，進行比較。再讓學生寫一個三位數，教師寫一個四位數，進行比較。然后學生之間可以自行寫出不同的數，再進行比較。在學生與教師和同學充分的互動中，不僅提高了學生的學習興趣，而且能夠幫助學生探索出不同位數的兩個數以及相同位數的兩個數的大小關系，總結出數的比較規律，從而完成教學目標，真正做到自主學習。

2.借助具體形象直觀感知

根據皮亞杰的認知發展理論，小學1～3年級的學生主要處于具體運算階段，形式運算能力還沒有發展起來，形象思維占主導，抽象思維較弱。因此，低年級小學生的數學學習應更多地采用具體化、形象化的方式，將抽象的東西直觀化，幫助學生借助實物來觀察、分析和思考，先初步形成感性認識，然后進一步延伸和抽象，獲得理性認識。這種方式不僅能夠調動學生的學習積極性，而且有助于降低學習的難度，便于學生更好地接受抽象的數學知識。實物的選擇一般選取學生熟悉的物品、圖形或數據，鼓勵學生從實際出發，獲得直觀感知，進而逐步聯結到形式化的數學知識。比如，在“厘米認識”的教學中，教師可先讓學生觀察圖釘的長度、手指的寬度，初步認識1厘米的實際長度，然后說一說生活中的哪些物體的長度大約是1厘米。再如，在“角的認識”的教學中，教師可先引導學生觀察實物，了解角的形象，然后再找一找身邊的“角”，總結歸納出角的特點。

3.運用數學的“眼光”看待身邊的事物

義務教育數學課程的一個重要目標，就是教會學生運用數學的思維方式進行思考，體會數學與生活及其他學科之間的聯系，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。義務教育的第一學段是培養學生對數學的好奇心和求知欲最為重要的時期，在這一階段，教師要引導學生經常運用數學的“眼光”看待身邊的事物，指導學生從數量、類別、層次等角度觀察事物、思考問題，讓學生熟悉數學、親近數學、了解數學，對數學現象和問題保有一定的好奇心。比如，教師可以經常問學生：這種物品有多少個？可以分成幾類？具有什么層級？等等。這些問題不僅能夠引起學生的好奇心，而且能夠逐漸培養起學生的數學意識和數學思維能力，體會學習數學的價值。

4.設置階梯式的學習任務

由于小學1～3年級學生的理解能力還較低，在義務教育的第一學段，教師要設法為學生創建易于上手、易于參與、易于理解的學習活動。因此教師在設置學習任務時，需要盡可能提供一種“階梯式”的問題串，幫助學生從低到高、從易到難地進入問題、思考問題、解決問題。階梯式的問題設置，能夠使不同層次的學生既能獲得成功的體驗，又能面臨一定的挑戰，增強學習數學的成就感，鍛煉克服困難的意志力，建立學好數學的自信心。除了問題設置外，問題要求也要盡可能體現層次性，即通過階梯式的步驟要求為學生解決問題搭建腳手架。借助教師提出的階梯式要求，學生能夠一步一步地完成學習任務，體會問題解決的層層剖析、層層深入的過程，幫助學生真正領會數學學習的思維和方法。

(二)4～6年級以情境式、互動式為主

1.將數學眼光轉向更為寬闊的生活情境

在義務教育的第二學段，學生已經具備了一定的觀察能力，教師可以引導學生將視野從身邊的物品轉向更為廣闊的生活情境，讓學生觀察社會生活和媒體傳播中的信息，思考其中存在哪些數學現象，能夠抽象出什么數學問題，可以運用哪些數學方法建立模型等。教師的適當引導不僅能夠幫助學生意識到數學的實用性價值，體會數學對自然及社會所產生的作用，而且能夠促進他們將所學的知識應用到實際生活中去。這一階段是幫助學生建立起數學學習價值觀的重要階段，教師應當給學生創造更多的機會，領會數學的思想、方法和意義，讓學生感受到數學活動的探索性和創造性，形成對數學學習價值的深刻認同。

2.采用團隊合作形式鼓勵交流質疑

4～6年級的學生已經具備了一定的主體學習能力，形成了初步的團隊合作意識，自我監控能力也與1～3年級相比有了顯著提升，在課堂中能夠比較好地控制自己的行為，因此在課堂上可以采用團隊合作的形式，鼓勵學生通過合作發現新知、通過交流獲得啟發、通過討論解決問題。建構主義認為，每個人都在以自己的經驗為背景建構對事物的理解，認識相對狹窄和有限。而集體討論和交流，能夠讓學生看到對同一問題不同的理解、不同的思考和不同的方法，對于培養學生思維的廣闊性具有特殊的意義。此外，在團隊討論過程中，學生之間的觀點交鋒、相互質疑也能夠促進學生自我反思和批判性思維能力的提升。

3.引導學生自己總結出結論

4～6年級是小學階段的關鍵年齡，是學生從具體思維為主要形式過渡到以抽象邏輯思維為主要形式的一個轉折時期。在這一時期，教師要給學生創設充分的對知識進行抽象概括的空間和機會，讓學生思考，自己總結出結論。自己總結，就需要學生進行自主思考，要進行分類、分層、歸因、整合，這些都是重要的數學能力，也是學生將來社會生活所必需的重要素養。在讓學生自己總結結論的同時，教師可以進行適當引導，教給學生總結的思路和方法，比如從哪個角度總結、總結的要點應該包括哪些、總結出的結論應該具備怎樣的特點。

4.運用可視化的形式呈現學生思維

小學4～6年級的學生，雖然邏輯思維能力的發展還處在起步階段，卻已具有豐富的想象力和創造力，對于色彩、圖像的敏感度很高。在這一階段，教師可以利用學生對圖畫的濃厚興趣，運用思維導圖的方式來培養他們的邏輯性和條理性。思維導圖的特點在于畫面生動、內涵豐富，包含了色彩、線條、圖像、符號、文字等多種元素，極大地刺激了學生的學習興趣點，讓學生更喜歡上數學課。思維導圖也是一種表達方式，是除了口頭表達、書面表達之外的一種非語言的表達方式，是用圖畫的形式呈現學生的思維。為了畫出思維導圖，學生就需要主動梳理自己的知識脈絡，明確邏輯關系，建立框架體系，自然而然地將被動的學習變為主動，提高了學生學習的主觀能動性，提升數學學習效果。

(三)7～9年級以邏輯性、分析性為主

1.教學內容及形式適當加大抽象度

初中階段是抽象思維發展的質變時期，在初二年級前后，思維的具體形象成分與抽象邏輯成分會呈現出一個明顯的對照。盡管促進數學問題解決能力發展的學習活動模式提倡在真實具體的情境中，運用游戲、活動的形式開展數學教學，但在初中階段，隨著學生思維抽象性的提高，在設計教學活動時也不應該過于機械，并不是什么知識都從直觀教具出發，也不是所有內容都有現實情境。通常可采用“問題情境—建立模型—解釋應用”的思路展開教學，此處的“問題情境”可以是生活的情境，也可以是數學的情境，重點落在建立模型上，即運用抽象化的思維理解和運用數學知識。需要注意的是，加大抽象的同時，仍然要兼顧直觀，特別是對于初一年級或抽象思維發展較慢的學生，教師還應適當借助直觀形象，幫助學生逐漸形成抽象化概念。

2.自主探究經歷數學知識的形成過程

數學學習不僅是數學知識的學習，更主要的是數學思維活動的學習，因此教師不能單純地教給學生數學結論，而要引導學生經歷數學知識的形成過程。荷蘭數學教育家弗賴登塔爾曾說：“數學學習是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經過親身體驗，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學不會的?！苯洑v數學知識形成過程的主要方式是引導學生自主探究，而自主探究的有效策略之一即實施多感官教學。課堂上學生通過看、聽、說、觸摸、操作等多種感官運動，經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，獲得綜合的學習活動體驗，從而實現對數學概念、法則、公式、定理等數學結論的深刻理解。

3.借助思維導圖構建結構化的知識體系

當學生經歷了數學知識的形成過程之后，更進一步就需要把數學知識進行內化。所謂內化，就是將老師教的知識變成學生自己的知識，或者將學生自己經歷的直觀過程變成具有邏輯性的抽象過程。內化是思維的內化，而思維導圖正是實現這一轉變的有效方法。在課上或課下，教師都可以引導學生畫出自己的思維導圖，引導學生學會把看似分散的知識點連成線、結成網，把瑣碎的知識系統化、規律化、結構化，從而促進數學學習的記憶、理解和思考。而這一方式，恰恰也為初中階段學生抽象思維的形成提供了強有力的工具，成為培養數學思維、積累數學活動經驗的重要載體，同時為數學知識的遷移和拓展奠定了基礎。

4.加強數學在其他學科中的融合與應用

除了引導學生經歷數學知識的形成和內化過程外，教師還要注重幫助學生獲得數學知識的遷移體驗，鞏固和拓展基本的數學活動經驗。在初中階段，數學知識遷移的范圍隨著數學內容的復雜化而逐漸拓展，數學知識不僅僅在生活中常見常用，而且進一步延伸到與數學有關的各個學科，諸如物理、化學、生物、地理、語文等。在學習活動設計時，教師需要有意識地融入數學以外的其他學科的內容，引導學生體會學科之間的聯系，認識數學的基礎性與應用性。融合方式可多樣，可以在情境創設時引入其他學科的內容要素作為數學活動的問題背景，也可以在解決問題時將所得的數學結果指向其他學科作為數學知識的結果應用。

(四)10～12年級以深刻性、創新性為主

1.設置多維度、多層次的問題情境

與初中相比，高中階段的數學內容知識面加寬，難度加深，抽象度顯著提高。在設計學習活動時，僅有生活或其他學科的固定的、單維的教學情境，是不足以與高中知識相匹配的。教師應設置多層次、多維度的問題情境，將一系列看似零碎但實質上具有內在聯系的內容融合在一起，讓學生在剝離、梳理和組織這些情境要素時，在頭腦中形成數學及相關知識的結構體系。同時，問題情境的設置還應注意變化性和開放性，使學生能夠經歷選擇、分析和決策的過程，培養學生數學思維的廣闊性和批判性。

2.提出概括數學思想方法的任務

在高中階段，隨著教學內容復雜性的增強，學生在學習過程中需要經歷猜想、歸納、推理、證明等過程解決數學問題，因此會接觸到函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合等多種數學思想方法。在設計學習活動時，除了圍繞教學內容本身設計出緊扣數學知識的任務外，還應該增加一個環節，即提出讓學生概括數學思想方法的任務。也就是說，高中數學課堂學習活動，在實施前與實施中階段，大致包括：內容任務+方法任務。在方法任務部分，教師要注重引導學生整理思維過程，分析數學思想方法的來龍去脈，概括解題思想，總結出具有模式化和操作化的數學方法，實現對數學問題的認識、處理和解決，進而實現對數學理論和內容本質的理解。

3.引導學生檢驗和反思學習過程

隨著高中學生年齡的增長，學生的自控能力也在日趨提高，培養學生的檢驗和反思習慣，是提高高中生數學學習效率、提升學生自我監控與評價能力的有效方法。在完成學習任務之后，教師可以設計一系列對解題過程進行回顧、探討、分析、評價的活動。即一個完整的高中數學課堂的學習活動大致應包括三個部分：內容任務+方法任務+反思任務。反思任務通常涉及兩個層面：一個層面是對已經實施的解題過程及結果進行反思，具體包括讓學生對解題結果進行檢驗、對解題方法進行回顧、對解題思路進行概括等；另一個層面是在更廣闊的范圍內對相關知識和方法進行反思，具體包括提出問題、嘗試不同的解題方法、推廣已有命題等。只有經歷了對知識本質的不斷反思，才能使學生對數學的理解從經驗水平上升到理性水平，學生的思維也會從具體上升到抽象。

4.借助文字、符號和圖形語言加強數學交流

促進數學問題解決能力發展的學習活動模式，強調學生的主體參與，強調師生之間、生生之間的互動，高中階段的數學課堂，應成為學生之間交流數學思想的場所。教師應當激發學生的思考，鼓勵他們提出疑問，并用恰當的方式表達出來。在數學學科中，所謂恰當的方式，即運用三種數學語言——文字語言、符號語言和圖形語言，解讀數學概念，理解數學知識，提煉數學方法。數學通過交流才能得以深入和發展，只有借助文字語言、符號語言和圖形語言表達出來，學生的數學思維才變得清晰，數學思想才得以流傳。在高中數學課堂上，學生可以就所學知識的內在聯系、自己的理解過程、他人的解題方法等發表自己的看法。借助文字、符號、圖形語言的梳理，學生的思路更加清晰、思維更加深刻、因果更加分明、邏輯更加清楚。▲