以形助數(shù) 數(shù)形結(jié)合
——探尋小學(xué)數(shù)學(xué)思考力提升的有效策略

文 / 范彬彬

引 言

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾言，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”這句話強(qiáng)調(diào)了“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)教學(xué)中互利共生、難以割舍的兩個(gè)關(guān)鍵部分[1]。其中，以形助數(shù)是研究的重點(diǎn)內(nèi)容。一般情況下，直觀、具象的圖形、模型等能夠展現(xiàn)出抽象的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)符號(hào)，讓學(xué)生深入了解數(shù)學(xué)概念各項(xiàng)要素之間的關(guān)系，明確解決數(shù)學(xué)問題的具體路徑。而在數(shù)形結(jié)合的視域下，教師用以形助數(shù)的教學(xué)策略展開教學(xué)活動(dòng)，也有助于提升學(xué)生的思考能力，強(qiáng)化其思維的靈活性和邏輯性。因此，為進(jìn)一步提升小學(xué)生的思考能力，教師要在明確以形助數(shù)教學(xué)策略重要性的基礎(chǔ)上，通過巧設(shè)問題、引導(dǎo)畫圖等教學(xué)策略，讓學(xué)生展開深入思考和探究，強(qiáng)化教學(xué)的廣度、深度、新意和質(zhì)量，最終提升學(xué)生思考能力和數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

一、“以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合”在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用原則

第一，生本性原則。在數(shù)學(xué)課程改革的背景下，以生為本已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教育者們的共識(shí)，教師要時(shí)刻堅(jiān)持學(xué)生在課堂上的主體地位，無論在繪圖還是數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程中，都要以小學(xué)生的實(shí)際接受能力、思維特點(diǎn)等為依據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生成為繪圖和釋圖的主體，讓他們在解析圖畫、繪制圖畫的過程中，完成數(shù)學(xué)解題任務(wù)，激活創(chuàng)新思維。

第二，普遍性原則。“以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合”的思想，不只局限于某一個(gè)方面，它們應(yīng)成為學(xué)生的思維習(xí)慣。當(dāng)解讀數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生應(yīng)時(shí)刻從數(shù)形結(jié)合的角度思考問題，這樣不僅能夠有效降低數(shù)學(xué)問題的難度，還能轉(zhuǎn)化思維模式，學(xué)會(huì)將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為直觀的圖形。基于此目的，教師要遵循普遍性的原則，有意識(shí)地將“以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合”的思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。

第三，多樣性原則。除了生本性和普遍性原則，在運(yùn)用“以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合”的思想方法展開教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師也要遵守多樣化的原則，鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新，讓他們依據(jù)不同的問題或者問題中出現(xiàn)的不同條件，靈活地繪制多種類型的圖形，有針對性地解決數(shù)學(xué)問題。

教師以提升學(xué)生思考能力為目的，在運(yùn)用“以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合”的思想方法時(shí)，遵循生本性、普遍性和多樣性的原則，能為學(xué)生創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)環(huán)境，為他們的自主思考和數(shù)學(xué)探究提供機(jī)會(huì)。基于此，學(xué)生的思考能力會(huì)得到不斷提升，其解決問題的能力自然也隨之增強(qiáng)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生思考能力的有效策略——以數(shù)形結(jié)合思想方法為例

（一）以形助數(shù)，引發(fā)思考，讓教學(xué)有廣度

作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“好幫手”，“以形助數(shù)”的方法和手段受到了數(shù)學(xué)教師的關(guān)注和認(rèn)可，它具有化繁為簡、化抽象為具象的重要作用，將其運(yùn)用到數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)活動(dòng)中，能夠讓學(xué)生形成和增強(qiáng)形象化思維，并針對相關(guān)數(shù)學(xué)概念和問題展開深度思考，從而讓教學(xué)有廣度、有深度[2]。在實(shí)際的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上，教師可以在第一階段巧妙地設(shè)置問題，初步引發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考的意識(shí)，于思考過后引導(dǎo)他們畫圖，借助圖形展現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念的數(shù)量關(guān)系，讓他們準(zhǔn)確解讀數(shù)學(xué)概念或問題中蘊(yùn)含的科學(xué)規(guī)律。

1.巧設(shè)問題

在數(shù)形結(jié)合視域下提升小學(xué)生的思考能力，教師首要的任務(wù)是讓學(xué)生產(chǎn)生思考的意識(shí)，自覺解圖和畫圖，這樣方可真正挖掘出“以形助數(shù)”的作用和價(jià)值。而問題是推動(dòng)學(xué)生自主思考、深度思考的有效載體，正如教育學(xué)家陶行知先生所言：“發(fā)明始于問題，有了問題才會(huì)思考，有了思考，才有解決問題的方式，才有找到獨(dú)立思路的可能。”教師應(yīng)將問題作為課堂教學(xué)的起點(diǎn)，巧妙地設(shè)計(jì)與課程教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的問題，讓學(xué)生去思考、去探究，自覺地將生活問題合理地轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，賦予數(shù)學(xué)概念以具象化的特征，從而在自主思考的過程中，對數(shù)學(xué)概念和問題等形成初步印象。

教師要在開展教學(xué)活動(dòng)之前，研讀教材中的數(shù)學(xué)概念和例題，尋找其與現(xiàn)實(shí)生活之間的連接點(diǎn)，將其設(shè)計(jì)為生活化和趣味化的導(dǎo)入問題，將課程教學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活關(guān)聯(lián)起來，從而建構(gòu)起具象化的認(rèn)知系統(tǒng)。以蘇教版數(shù)學(xué)三年級(jí)（上冊）“周長”的教學(xué)為例，為了讓學(xué)生對“長方形周長”的概念和計(jì)算方式有準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，教師可以于導(dǎo)入階段，以生活化的問題引發(fā)學(xué)生的思考，讓他們將關(guān)注點(diǎn)集中在“周長”的概念上。例如，校園中種植了一片向日葵，現(xiàn)有100根長為1米的木籬笆，應(yīng)該怎樣將這片向日葵圍起來？采用怎樣的方案才能保證向日葵種植園的面積最大？針對這一問題，教師引導(dǎo)學(xué)生將題目的內(nèi)容作為一道閱讀理解題，利用重點(diǎn)標(biāo)記、圈畫等方式，提煉題目中的有效信息。

2.引導(dǎo)畫圖

受年齡、心理狀態(tài)等因素的影響，小學(xué)生在認(rèn)知、內(nèi)化外界事物時(shí)，通常以形象思維為主。其中，視覺思維占據(jù)主導(dǎo)地位，學(xué)生會(huì)將視覺范圍內(nèi)感知到的事物和信息以圖像化的方式儲(chǔ)存在大腦中，引起大腦的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而展開思考和探究，并輸送經(jīng)過加工后的信息，抽象出事物的屬性和概念。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要明確學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，將激活學(xué)生的視覺思維作為重要的目標(biāo)，讓他們主動(dòng)利用視覺思維去搜集信息和解讀問題。

畫圖是激活小學(xué)生視覺思維的有效方法，能夠讓他們自覺地將抽象概念和問題轉(zhuǎn)化為具象元素。因此，在巧設(shè)問題的基礎(chǔ)上，為了加強(qiáng)學(xué)生的思考廣度，讓他們探索出解決問題的路徑，教師可以逐步引領(lǐng)學(xué)生畫圖，以“你認(rèn)為怎樣才能確保圍起來的向日葵種植園面積最大？你覺得解決該問題最簡便、最利于觀察和探究的方法是什么呢？”等具有映射性和啟發(fā)性的問題，將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)集中于畫圖上。經(jīng)過自主思考和探究，學(xué)生在草稿紙上畫出長方形種植園的模擬圖。

由圖1可知，長方形周長的構(gòu)成要素可用“長+寬+長+寬”表示，結(jié)合上文中的信息可以推導(dǎo)出“長+寬+長+寬=100”，即“長+寬=50”。當(dāng)?shù)贸鲞@一階段性結(jié)論后，學(xué)生便可利用圖1中的信息，進(jìn)一步繪制草稿圖，如圖2、圖3，并按照列出的所有可能，逐一計(jì)算“1×49”“2×48”“3×47”……“25×25”的結(jié)果，從而計(jì)算出長方形向日葵種植園的最大面積為“25×25=625”。經(jīng)過一番繪圖和操作，學(xué)生可對“長方形周長”的概念和隱含信息有所了解，即“長方形的周長為長與寬之和的二倍，即周長=2×（長+寬）”。在明確周長的概念和公式后，由S=25×25=625，可進(jìn)一步推理出“在保持周長恒定不變的基礎(chǔ)上，當(dāng)長方形的長與寬相等時(shí)，長方形的面積最大”的結(jié)論。歷經(jīng)這一過程，學(xué)生不僅能夠針對相關(guān)問題提出自身的見解，還能利用“以形助數(shù)”的方式，通過畫圖的方式展現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念中蘊(yùn)藏的數(shù)量關(guān)系，不斷提高思考能力和探究能力。

在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的第一階段，教師巧妙地設(shè)置問題，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的思考，讓他們將關(guān)注點(diǎn)集中于數(shù)學(xué)課堂上，并在思考的過程中產(chǎn)生“以形助數(shù)”的意識(shí)，這樣不僅可以激活學(xué)生的自主意識(shí)和思維，還能為后續(xù)更高難度的教學(xué)活動(dòng)奠定基礎(chǔ)，促使他們掌握便捷、高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)辦法，無論對數(shù)學(xué)教學(xué)還是小學(xué)生發(fā)展皆是有益的。

（二）以形助數(shù)，推動(dòng)思考，讓教學(xué)有深度

1.創(chuàng)設(shè)情境

基于推動(dòng)學(xué)生深度思考的需求，教師可以創(chuàng)設(shè)具有驅(qū)動(dòng)性的情境，以具體的任務(wù)為載體，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中展開思考，并于思考中明確解決問題的創(chuàng)新、簡便方法，這樣既可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上保持專注，也能激發(fā)小學(xué)生的活躍性和積極性。在實(shí)際操作過程中，為強(qiáng)化情境的驅(qū)動(dòng)性，教師可以結(jié)合小學(xué)生的校園、社會(huì)生活經(jīng)歷，設(shè)置對應(yīng)的任務(wù)，以此引導(dǎo)學(xué)生思考和探究。

在創(chuàng)設(shè)驅(qū)動(dòng)性任務(wù)時(shí)，教師既要融入數(shù)學(xué)課程的實(shí)際教學(xué)內(nèi)容，也要綜合考量學(xué)生的認(rèn)知情況，以趣味化的任務(wù)，加強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)感和參與感。以蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)（上冊）“整數(shù)四則混合運(yùn)算”的教學(xué)為例，教師可從校園生活的角度出發(fā)，賦予小學(xué)生“圖書管理員”的身份，利用“學(xué)校圖書館中有80本漫畫書，包含國內(nèi)漫畫和國外漫畫兩種形式，已知借閱出國內(nèi)漫畫18本、國外漫畫22本，這時(shí)發(fā)現(xiàn)剩余的國內(nèi)漫畫的數(shù)量比國外漫畫的數(shù)量少10本，那么國內(nèi)漫畫和國外漫畫各有多少本？”的驅(qū)動(dòng)性問題，引導(dǎo)學(xué)生站在“圖書管理員”的角色定位上，將計(jì)算漫畫書的數(shù)量作為一種責(zé)任，驅(qū)動(dòng)他們展開思考和探究。

教師以驅(qū)動(dòng)性的任務(wù)情境為載體，讓小學(xué)生產(chǎn)生責(zé)任意識(shí)，使其在真實(shí)的場景中解讀、思考和論證數(shù)學(xué)問題，能顯著提高學(xué)生的積極性，他們也會(huì)將所學(xué)知識(shí)、方法等運(yùn)用于數(shù)學(xué)實(shí)踐中。至此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際效果也能夠得到顯著增強(qiáng)。

2.指導(dǎo)畫圖

在驅(qū)動(dòng)性任務(wù)情境的影響下，學(xué)生自主思考的意識(shí)明顯加強(qiáng)，教師要把握好這一機(jī)會(huì)，指導(dǎo)學(xué)生畫圖，讓他們將“以形助數(shù)”的手段應(yīng)用于解題訓(xùn)練中。針對情境中設(shè)置的任務(wù)，教師可以要求他們繪制簡單的圖形，以圖形為載體，展示國內(nèi)漫畫書和國外漫畫書之間的數(shù)量關(guān)系。

（三）以形助數(shù)，加深思考，讓教學(xué)有新意

在數(shù)形結(jié)合的視域下，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要有廣度和深度，也要有新意，這樣才能讓小學(xué)生始終保持新鮮感，讓他們在“以形助數(shù)”數(shù)學(xué)思想方法的輔助下，明確數(shù)量關(guān)系、習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)。對此，教師要以經(jīng)典的數(shù)學(xué)例題為載體，引導(dǎo)學(xué)生在繪圖和釋圖的過程中，尋求闡釋和解決問題的新方法和新路徑，打破學(xué)生的思維禁錮，讓他們在有新意的數(shù)學(xué)課堂上展開深層次的思考和探究。

教師要在充分了解數(shù)學(xué)歷史發(fā)展進(jìn)程的基礎(chǔ)上，從歷史資源中選取有代表性的問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)新的方法闡釋和說明問題，并探尋別具一格的解題路徑。中國數(shù)學(xué)歷史進(jìn)程中有一個(gè)經(jīng)典的問題，即“雞兔同籠”問題。在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，教師通常會(huì)要求學(xué)生通過想象、聯(lián)想及計(jì)算的方式，完成“雞兔同籠”問題的探索任務(wù)；而在數(shù)形結(jié)合的視域下，教師可改變傳統(tǒng)教學(xué)方式，以繪圖的方式展現(xiàn)出經(jīng)典數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系。

《禮記·大學(xué)》中“茍日新，日日新，又日新”的理念，強(qiáng)調(diào)了創(chuàng)新的重要性。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師利用“以形助數(shù)”的策略展開教學(xué)活動(dòng)，恰好體現(xiàn)了創(chuàng)新理念。當(dāng)學(xué)生以繪圖的方式解析經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題時(shí)，他們的創(chuàng)新意識(shí)、解題能力皆能得到提升，這不僅與古代教育思想不謀而合，還能契合課程教學(xué)改革的整體趨勢。

結(jié) 語

綜上，在數(shù)形結(jié)合的視域下，教師可以通過巧設(shè)問題、引導(dǎo)畫圖、創(chuàng)設(shè)情境等策略，將以形助數(shù)的思想和方法融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，以此引發(fā)學(xué)生思考，讓他們在思考的過程中認(rèn)清數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，明確數(shù)學(xué)問題的條件，并找準(zhǔn)解決問題的方法和路徑，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)的廣度、深度、新意和質(zhì)量。在運(yùn)用以形助數(shù)的方法開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)，教師要遵循科學(xué)性、生本性、多樣性的原則，不斷優(yōu)化課堂教學(xué)的模式，凸顯學(xué)生在課堂上的主體地位，進(jìn)而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和探究中提升思考能力。