反饋線性化解耦的PMSM新型滑模控制方法*

田艷豐, 王健宇, 王 哲, 吳宋林

(沈陽工業大學 電氣工程學院,遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)具有較高的工作效率、功率密度以及較好的轉矩慣性比等特點，在眾多工業領域中得到了廣泛的應用。PMSM控制系統是非線性系統，很難對其進行高精度控制[1]。傳統的矢量控制方法是將定子電流分為d軸勵磁電流和q軸轉矩電流，并分別單獨控制。然而該控制策略控制性能有限，不能將電流完全解耦[2]。在PMSM的實際控制中，參數攝動、模型誤差和外界干擾等因素，會對其控制效果造成一定的影響，導致系統性能下降，影響系統穩定性，使實際應用中的系統精確控制變得更加困難[3]。文獻[4]將電壓前饋的補償環節加入矢量控制，使d、q軸電流解耦，但是在負載突然變化時，仍不能徹底解耦。

近年來，為了解決PMSM的解耦問題，國內外眾多學者在矢量控制系統中加入了一些非線性控制技術[5]，如滑模變結構控制[6]、反步控制[7]、自抗擾控制[8]、反饋線性控制[9-10]等。文獻[11]提出了一種擴張狀態觀測器，用于擾動的估算，并對實際運行的系統去除抖振，但此方法不能有效提高系統動態響應性能。文獻[12]提出了一種結合反饋線性化解耦的PI控制器來控制PMSM轉速，但是在實踐中，反饋線性化控制(FLC)不能在系統非穩態的狀態下實現快速響應。

FLC是一種非線性控制方法，在非線性系統解耦方面其有著顯著的優越性。此方法基于微分幾何學，通過對數學模型的分析，得出該系統的線性控制規律[13]，能準確解耦被控對象的數學模型，實現系統的線性化。PMSM因其非線性和強耦合的特性，需要利用反饋線性化方法進行解耦，使其獲得矢量控制所不能達到的控制精度。文獻[14]提出將FLC應用于線性伺服系統，實現永磁直線電機解耦。文獻[15]提出了基于反饋線性化的永磁直線同步電機自適應動態滑模控制，采用反饋線性化理論，將永磁直線同步電機d、q軸電流完全解耦，把PMSM控制系統劃分成兩個相互獨立的線性子系統，但系統對參數變動敏感，魯棒性降低。由此可見反饋線性化解耦需要與其他控制方法結合使用，以實現高性能控制。

滑模變結構控制具有響應速度快、抗擾能力強與易于控制等特點，已成為廣泛使用的控制策略[16]。但為保證系統的抗擾性和穩定性，在常規的滑模控制中，開關增益必須設置得足夠大，以消除系統的干擾，而開關增益越大，系統越容易產生高頻抖振。為了減少系統抖振，文獻[17]采用改進傳統趨近律的方法設計出滑模控制器，試驗結果表明，雖然新型滑模控制器能夠減少系統產生的抖振，但系統的抗干擾能力下降，響應時間加長。

綜上所述，本文將反饋線性化解耦理論與滑模控制相結合，以表貼式PMSM為研究對象，將輸入-輸出反饋線性化方法作為解耦策略應用于PMSM，實現非線性系統向線性系統的轉換。運用微分幾何工具將PMSM分解為轉速和激勵電流兩個線性化子系統。然后結合滑模控制的思想，在傳統滑模趨近率的基礎上，提出了一種改進的滑模控制方法，將其與FLC相結合，設計出系統控制器作用于PMSM，以獲得更好的控制效果。最后通過仿真平臺進行分析，檢驗系統可行性。

1 PMSM反饋線性化

本文研究表貼式PMSM，以d、q軸電流和轉速參數作為狀態變量。忽略磁阻轉矩，d-q旋轉坐標系中的數學模型如下：

(1)

式中：id、iq和ud、uq分別為d、q軸定子電流和電壓;Rs為定子電阻;L為定子電感;Ψr為永磁磁通;B為黏滯摩擦系數;J為轉動慣量;p為極對數;ωr為轉子轉速;Tl為負載轉矩。

定義系統狀態變量[18]：x=[x1,x2,x3]T=[id,iq,ωr]T，定義系統輸入變量：u=[u1,u2]T=[ud,uq]T，將式(1)改寫為標準的仿射非線性系統的形式：

(2)

根據微分幾何理論[19-20]定理1：若仿射非線性方程式(2)在x0的一個鄰域內滿足：

(3)

并且m×m維矩陣：

(4)

為非奇異矩陣，則在x0處，非線性方程式(2)有一個向量關系度r=[r1,r2,…,rm]，也就是指在x0的附近，可以用非線性方程式(2)來實現輸入和輸出的解耦。

在FLC過程中，首先要解決的問題就是確定系統的相對階。根據式(2)，確定了r1=1，r2=2的相對階數。則系統的總相對階r=r1+r2=3。

對式(2)求李導數并計算D(x),b(x)和z：

(5)

由于Lgh1(x)≠0,Lg2Lfh2(x)≠0，則該系統不存在零動態問題，并滿足反饋線性化條件。引入新的線性虛擬控制量：

(6)

系統解耦合后的結構形式如圖1所示。

圖1 解耦后的 PMSM 數學模型

式(2)反饋變換得：

(7)

式(7)對PMSM系統進行了反饋線性化，引用新的線性變量解決系統耦合問題,然后根據滑模變結構理論進行控制器的設計。

2 控制器設計

采用反饋線性化原理，可以將PMSM的ωr和id進行解耦，但該方法會使系統抗干擾能力下降。為此設計改進趨近律的滑模控制器分別對ωr和id進行控制，以提升系統性能。其系統結構如圖2所示。

圖2 PMSM系統框圖

2.1 改進指數趨近律

文獻[21]闡述了終端吸引子的概念，并將其應用于神經網絡算法。文獻[22]在此基礎上，將終端吸引子引入傳統的指數趨近律并應用于電機，給出了一種無開關函數的滑模趨近律，形式如下：

(8)

式(8)共分為兩個部分。由方程的第一部分可知該系統的狀態反饋是基于指數函數的，且其漸近過程會隨狀態變量的持續改變而發生改變，故稱變指數趨近律。后一項既加入了終端吸引子模型，又將其作為一個冪函數來表示，因此成為末端吸引趨近律。這樣既保證了系統狀態軌跡遠離原點時系統狀態會有更快的運動軌跡，提高系統的快速性，又能提高系統狀態在趨近率的作用下系統的穩定性，最終使其狀態量收斂。

下面分析其穩定性，通過Lyapunov第二方法來分析式(8)的滑模控制下系統的穩定性問題。

定義Lyapunov函數為

(9)

V正定，且存在一階連續偏導數：

(10)

由于參數ε、k、p、q均大于零，a、b為非負數，且p、q之和為偶數，因此：

(11)

根據Lyapunov穩定性判據，采用趨近律式(8)的滑模控制滿足穩定性和可達性，系統的原點處于平衡狀態，即系統是穩定的。一旦系統狀態到達滑模面，其可以沿著滑模面移動，并不斷接近平衡點。

2.2 電流環控制器設計

在對系統的電流環進行反饋線性化解耦后，可以將輸入和輸出之間的關系簡化為v1通過積分環節得到id，如圖1(a)所示。本系統采用了一種滑動模態控制器。設計方式如下：

選取被控對象：

(12)

由跟蹤誤差選取狀態變量：

(13)

由式(13)確定系統狀態方程：

(14)

(15)

定義滑模面為

s=cx1+x2

(16)

式中：c>0。

對式(16)求導有：

(17)

采用趨近律式(8)，得到下式：

(18)

令X=x1，得到控制器：

(19)

2.3 速度環控制器設計

在對轉速環進行反饋線性化準確解耦后，輸入v2與輸出ωr的關系可由二次積分得到，如圖1(b)所示。該控制方法與電流回路相似，但其控制目標的數學模型稍有差異。控制目標的速度回路數學模型如下：

(20)

同時，直接給出了系統轉速環控制器：

(21)

3 仿真分析

在MATLAB/Simulink平臺進行仿真，按照圖2所示的PMSM系統搭建模型，驗證本文推導出的新型反饋線性化滑模控制器性能，并將該控制策略與傳統PI控制策略進行對比。PMSM仿真的主要參數如表1所示。

表1 PMSM仿真參數

3.1 空載運行

圖3 空載轉速波形

圖4 空載電流波形

圖4分別為采用傳統PI控制策略與新型反饋線性化滑模控制策略進行仿真得到的PMSM空載電流響應。如圖4 (a)所示，采用傳統 PI 控制策略時，id和iq不能完全解耦控制，且波動較大。如圖4(b)所示，采用反饋線性化滑模控制策略時，iq動態響應快，穩態幾乎無波動，電流響應快速性遠優于PI控制器，動、靜態控制性能與PI控制相比顯著提高。

3.2 負載運行

在t=0.1 s時給電機加10 N·m負載，PMSM系統速度波形如圖5所示。傳統PI控制策略下，電機轉速在50 ms時達到穩定，并且超調明顯。而反饋線性化滑模控制策略下，電機轉速在15 ms時達到穩定，快速性提升，并持續跟蹤給定速度，系統響應速度快且穩態無超調。在突加負載后，反饋線性化滑模控制系統的速度下降了44 r/min，在10 ms后重新實現了對給定轉速的跟蹤，其動態、靜態性能均比傳統PI控制優越。

圖5 負載轉速波形

圖6 負載電流波形

圖6(a)為傳統PI控制器下的電流閉環特性曲線。曲線波動較大、快速性差、超調嚴重。負載突變時id、iq均出現大幅度波動，有明顯超調，動態響應慢；而且到達穩態時iq也存在0.5 A的穩態誤差。圖6(b)為反饋線性化滑模控制策略下的PMSM電流跟蹤響應曲線。id和iq都跟隨給定值，系統抖振和穩態誤差均較小，iq動態響應快，穩態無波動，iq始終保持在0 A，負載變化時也無明顯波動，電流動、靜態控制性能與傳統PI控制相比顯著提高。

4 結 語

對于傳統控制策略不能將PMSM的d、q軸電流完全解耦的問題，將輸入-輸出反饋線性化方法應用到PMSM系統中，通過微分運算和反饋線性化理論，實現電流和轉速的完全解耦并得到其數學模型。并在此基礎上，結合滑模控制理論，分別對速度二階子系統和電流一階子系統設計出新型滑模控制器。仿真結果表明，反饋線性化方法可以有效地簡化非線性系統控制律設計，減少模型誤差，新型控制策略具有良好的跟蹤性能，抗干擾能力強，動態響應快，與傳統PI控制方式比較，其優勢明顯。