模糊距離空間上非線性?iri?型擬壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理

張建英,賀飛,路寧

(內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

1 引言和預(yù)備知識(shí)

文獻(xiàn)[1]引入了擬壓縮映射的概念,并建立了距離空間上的擬壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理,后人稱之為?iri?型擬壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理.這一結(jié)果是最一般的壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理之一,之后許多學(xué)者討論了各類空間上的擬壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理[2-10].特別地,文獻(xiàn)[4]研究了距離空間上的非線性?iri?型擬壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理,改進(jìn)了許多形式的?iri?型擬壓縮的結(jié)果.另一方面,文獻(xiàn)[11]引入了模糊距離空間的概念,并且在此類空間上建立了一些不動(dòng)點(diǎn)定理,之后許多學(xué)者研究了模糊距離空間的性質(zhì)及該空間上的不動(dòng)點(diǎn)定理[12-20].

本文將文獻(xiàn)[4]在距離空間上的非線性?iri?型擬壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理推廣到了模糊距離空間,并且所得定理中的非線性函數(shù)類更廣.

下面回顧一些基本概念.本文中R+=[0,+∞),R=(?∞,+∞),N={0,1,2,···},N+={1,2,···}.

定義 1.1[18]設(shè)函數(shù)η:R→[0,1].記η的α-水平集為[η]α={q∈R:η(q)≥α}.若滿足

(1)存在q0∈R,使得η(q0)=1;

(2)對(duì)于任意的α∈(0,1],[η]α=[λα,ρα]是 R 中閉區(qū)間,其中

則稱η是模糊實(shí)數(shù).

由所有模糊實(shí)數(shù)組成的集合記為F.若對(duì)于η∈F滿足對(duì)任意的q<0,使得η(q)=0,則稱η是非負(fù)模糊實(shí)數(shù).由所有非負(fù)模糊實(shí)數(shù)組成的集合記為F+.

定義 1.2[11]設(shè)X是非空集合,函數(shù)d:X×X→F+,L,R:[0,1]×[0,1]→[0,1]是兩個(gè)非負(fù)對(duì)稱函數(shù),且滿足L(0,0)=0,R(1,1)=1.對(duì)于任意的α∈(0,1]和所有的x,y∈X,記

若滿足

(D1)d(x,y)=當(dāng)且僅當(dāng)x=y;

(D2)對(duì)于任意x,y∈X,d(x,y)=d(y,x);

(D3)對(duì)于任意x,y,z∈X,

(D3L)當(dāng)p≤λ1(x,z),q≤λ1(z,y)且p+q≤λ1(x,y)時(shí),滿足

(D3R)當(dāng)p≥λ1(x,z),q≥λ1(z,y)且p+q≥λ1(x,y)時(shí),滿足

則稱d是模糊距離,且稱(X,d,L,R)為(Kaleva-Seikkala型)模糊距離空間.

注 1.1距離空間可以看作特殊的模糊距離空間[11].

引理1.1[19]d(x,y)=當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的t∈(0,1],ρt(x,y)=0.

由定義1.2與引理1.1可知,x=y當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的t∈(0,1],ρt(x,y)=0.

引理 1.2[20]設(shè)(X,d,L,R)是模糊距離空間.記

(R-1)R(a,b)≤max{a,b};

(R-2)任意t∈(0,1],存在s∈(0,t],使得對(duì)任意r∈(0,t),有R(s,r)

則(R-1)?(R-2)?(R-3).

注 1.2引理1.2的蘊(yùn)含關(guān)系反過(guò)來(lái)均不成立[15].

引理 1.3[15]設(shè)(X,d,L,R)是模糊距離空間,則下述結(jié)論成立:

(i)(R-1)?對(duì)任意t∈(0,1],x,y,z∈X,有

(ii)(R-2)?對(duì)任意t∈(0,1],存在s=s(t)∈(0,t],使得對(duì)任意x,y,z∈X,有

(iii)(R-3)?對(duì)任意t∈(0,1],存在s=s(t)∈(0,t],使得對(duì)任意x,y,z∈X,有

引理 1.4[15]設(shè)(X,d,L,R)是模糊距離空間,且滿足(R-3).設(shè)

則集族{U(ε,α):ε>0,α∈(0,1]}構(gòu)成了X×X上的一組 Hausdorff一致結(jié)構(gòu)基.由集合

組成的集族構(gòu)成了X×X上的一組Hausdorff拓?fù)浠?而且該拓?fù)涫强啥攘康?

定義 1.3[15]設(shè)(X,d,L,R)是模糊距離空間,{xn}?X,x∈X,

當(dāng)n,m≥N時(shí),ρt(xn,xm)<ε,則稱{xn}是Cauchy列;

(iii)如果X中的每個(gè)Cauchy列都收斂,則稱(X,d,L,R)是完備的模糊距離空間.

引理1.5[15]設(shè)(X,d,L,R)是滿足(R-2)的模糊距離空間,則對(duì)于任意的t∈(0,1],ρt(x,y)在積空間X×X上連續(xù).

下面介紹兩類非線性函數(shù),其中一類是文獻(xiàn)[4]中提出的,另一類是本文定理中用到的條件更弱的非線性函數(shù):

2 主要結(jié)果

注 2.1令φ(t)=kt,k∈(0,1),顯然φ∈Φ,可得一般的壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理.因此,本定理是一般壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣.當(dāng)非線性函數(shù)φ取成

時(shí),壓縮系數(shù)便小于1了.

顯然,由注1.1和定理2.1可得在距離空間(X,d)上,帶有非線性函數(shù)φ∈Φ的不動(dòng)點(diǎn)定理.由注1.3和定理2.1可得,如果存在ψ∈Ψ滿足定理2.1的條件,那么f有唯一的不動(dòng)點(diǎn),并且由此可得如下結(jié)果:

推論 2.1設(shè)(X,d)是完備的距離空間,f是X上的自映射.如果存在ψ∈Ψ滿足對(duì)于任意的x,y∈X,都有

那么f有唯一的不動(dòng)點(diǎn).

注 2.2[4]推論2.1就是文獻(xiàn)[4]中的定理2.2的單映射形式.因此本文的結(jié)果將文獻(xiàn)[4]的主要結(jié)果推廣到了模糊距離空間.