μ-b方程族柯西問題的不適定性

嚴可欣,陳涵,付英

(1.寧波大學數學與統計學院,浙江 寧波 315211;2.西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言

考慮如下周期偏微分方程的柯西問題:

在b>1情形下的不適定性,其中u(t,x)是實值空間周期函數,S代表 R2上的單位圓,μ(u):= ∫Su(t,x)dx表示u在 S上的平均值.柯西問題 (1)中的第一個方程是μ-Camassa-Holm(μ-CH)方程和μ-Degasperis-Procesi(μ-DP)方程的一個混合方程,被稱為μ-b方程族.

當b=2時,μ-b方程族變成μ-Hunter-Saxton方程(現在通常被稱為μ-CH方程):

該方程是著名的CH方程[1-2]和Hunter-Saxton[3]方程的“中間”方程.它是由Khesin,Lenells和Misio?lek[4]首先提出的,它描述了具有外部磁場和自相互作用的液晶中旋轉子的演化過程.關于μ-CH方程的幾何性質,可積性,尖峰孤子解的存在性和穩定性,解的爆破行為,局部和全局適定性等可見文獻[4-6].

當b=3時,μ-b方程族變成μ-DP方程:

μ-DP 方程是由 Lenells,Misio?lek和 Ti?glay引入的[7].作為 DP 方程[8]和 Burgers方程[9]的“中間”方程,μ-DP方程可以視為圓S=R/Z的所有光滑且保向的微分同胚的Fréchet李群 Diff∞(S)上的右不變仿射聯絡?的測地線流.關于μ-DP方程的其他幾何性質,可積性,局部適定性,尖峰孤子解和沖擊波解的存在性,解的爆破和波浪破碎等結果可參考文獻[6-7].

μ-b方程族是b方程族的一個周期形式的推廣,它是由Lenells,Misio?lek和Ti?glay引入的[7].μ-b方程族解對初值的不一致依賴問題在文獻 [10]中被討論.值得一提的是,從文獻 [7]的定理5.5可以知道,當s>3/2時,μ-b方程族的柯西問題存在唯一解u∈C((?T,T),Hs(S))∩C1((?T,T),Hs?1(S)),且解對初值是連續依賴的.那么一個自然的問題是:當s<3/2時,μ-b方程族是否適定?

關于多種方程定解問題的不適定性已有許多工作.例如,2008年,在范數膨脹的意義下,Bourgain和Pavlovic[11]證明了三維Navier-Stokes方程在貝索夫空間的不適定性.2014年,Himonas,Holliman和Grayshan[12]研究了DP方程在索伯列夫空間Hs(R)與Hs(T)中的不適定性.2016年,Himonas,Grayshan和 Holliman[13]研究了b方程族在b>1時,在線上和圓環上的不適定性.至于b方程族在b<1情形下的不適定性,它是由Novruzov[14]在2021年研究的.關于 Novikov方程,ab方程族,修正CH方程,廣義修正CH方程的不適定性研究的結果可參考文獻[15-18].受文獻 [12-13]的啟發,本文研究的是當s<3/2,b>1時,μ-b方程族的柯西問題在空間Hs(S)中的不適定性.主要結論如下:

定理 1.1當b>1,s<3/2時,則μ-b方程族的柯西問題 (1)在索伯列夫空間Hs(S)中,在哈達瑪意義下是不適定的.具體地講,當

時,解的范數發生膨脹;當 (b,s)∈{(1

2 預備知識

為了證明主要結論,給出如下基本定義和引理.

定義 2.1[12-13]稱μ-b方程族在索伯列夫空間Hs(S)中,在哈達瑪意義下是適定的,如果μ-b方程族滿足以下三個條件:

3 主要定理的證明