基于花崗巖三軸試驗的廣義M-C強度準則的驗證與討論

摘要：為驗證廣義M-C強度準則對巖土材料強度準則適用性和精確性，用花崗巖真三軸實驗數據進行計算對比驗證。實驗數據對比發現：廣義M-C強度準則平均誤差△χi=0.05，M-C強度準則計算平均誤差△χi=0.17，廣義M-C強度準則平均誤差更低。廣義M-C強度準則均方根誤差η=39，M-C強度準則均方根誤差η=189，廣義M-C強度準則均方根誤差更低。綜上所述，廣義M-C強度準則對巖土材料的適用性的精度性優于M-C強度準則，可用于巖土工程強度計算。

關鍵詞：強度準則；M-C強度準則；廣義M-C強度準則；三軸試驗

0 " 引言

Mohr-Coulomb強度理論于1900年建立，至今發展已過百年。近百年，各種不同的強度模型或強度理論被眾多學者提出，每一種理論都只適用于某種獨特情況下，存在著或多或少的缺陷，目前還沒有一種強度理論能被所有學者所接受并適用于所有領域[1-2]。

強度理論研究材料在各種復雜應力狀況下的破壞與屈服，屈服、破壞準則都屬于強度準則。只要材料中的某一個點符合屈服理論的條件，材料會由彈性狀態變化為塑性狀態。于巖土工程材料類而言，找到一種適用性廣泛且精度相對較高的強度準則有十分重要的意義。

M-C強度準則考慮到了最大、最小主應力對材料屈服、破壞的影響，而中間主應力的影響未考慮到，由此導致存在不符合能量守恒的可能。基于熱力學第一定律提出的廣義M-C強度準則[3-5]精度相對更高，也更符合能量守恒理論。

現階段許多學者對M-C修正進行了相關研究，如蔣磊[6]等將對廣義M-C強度準則的π平面屈服函數進行修正，利用Willian-Warnke橢圓角隅模型消除M-C強度準則平面上屈服軌跡的奇異點。修正后的廣義M-C強度準則的π平面屈服軌跡明顯光滑且無尖點，能夠直接嵌入數值軟件，并提高了其計算精度。鄧楚鍵[7]等基于Mohr-Coulomb準則，通過引入羅德角參數及Mohr-Coulomb準則平面應變等效廣義Mises準則，推導了平面應變條件下材料屈服時的中主應力公式，并給出其與基于SMP準則（Spatial Mobiliaztion Piane）的平面應變中主應力公式之間的關系式，對平面應變條件下的條形地基進行了有限元數值模擬。

1 " 廣義M-C強度準則

土的本構關系，反應的是土在巖土受力作用下，其應力與應變的反應規律，現階段材料的本構模型有許多種，有彈性本構模型、彈塑性本構模型、蠕變本構模型等。巖土工程中同性材料的本構強度準則可用統一表達式（1）表示，此強度主要由材料參數，以及第一不變量與應力偏量組成。

（1）

式中：I1為應力張量第一不變量，J3為應力偏量第三不變量，K1、K2、K3為材料參數。

M-C本構模型適用范圍較廣，在國內大部分地區均較為常用，許多本構深化也采用M-C本構進行深化，形成了以江浙為代表的修正M-C本構。作為較為常用的本構模型，M-C強度準則的表達式為：

（2）

式中：c、φ分別為材料的粘聚力和內摩擦角，由M-C強度準則確定。θσ為羅德角。

本文對M-C模型進行合理擴展，采用廣義M-C模型，其強度準則的表達式為：

（3）

式中：ν為擬合泊松比，區別于泊松比μ，其計算主要通過試驗數據擬合所得，詳情可見文后參考文獻[8][8]。

2 " 花崗巖三軸試驗數據驗證

為計算M-C本構模型與廣義M-C本構模型的強度實用公式，本次針對巖石進行有效的計算論證。本次計算擬選用花崗巖真三軸試驗數據，分別采用M-C強度準則和廣義M-C強度準則計算理論值并與實際試驗值進行對比。

最大主應力按式（4）計算，三軸應力狀態下試件的彈性模量E和泊松比μ按式（5）和（6）計算。

（4）

（5）

（6）

文獻[8]研究了花崗巖在高應力條件下屈服破壞規律，展開了真三軸試驗。花崗巖試樣為50mm×50mm×

100mm的巖塊。花崗巖密度在之間，平均縱波在之間。

實驗在真三軸試驗環境下，做強度屈服試驗，獲取強度屈服破壞點，同時分析各特征點，計算其主應力值，并計算巖土參數粘聚力c和摩擦角φ。試驗過程中，應以巖石發生明顯的破壞為終止條件。

由真三軸試驗數據計算得粘聚力c和摩擦角φ見表1。以最大主應力σ1為縱坐標，最小主應力σ3為橫坐標，將試驗數據繪制σ1-σ3到直角坐標系中，用最小二乘法繪制曲線，由式（7）和（8）可得一次函數中c、φ的值。

（7）

（8）

式中：k為一次函數中曲線斜率，b為一次函數在縱坐標軸上的截距，一次函數見式（9），曲線擬合見圖1。

（9）

σ1與σ3的關系如公式（10）所示。將文獻[8]中真三軸試驗數據分為兩組，σ2、σ3較小的為第一組，σ1、σ3較大的為第二組。利用真三軸實驗數據中的σ2、σ3和c、φ，可分別計算出第一組和第二組數據的σCTi（第i樣品理論計算最大主應力）。

（10）

計算時，取對應第一組和第二組的最佳擬合泊松比ν1=0.55、ν2=0.62。將GM-C計算值、M-C計算值、三軸試驗數值列于表2和表3中。

3 " 試驗數據驗證誤差

根據M-C強度準則和GM-C強度準則計算最大主應力后，再分別計算平均誤差和均方根誤差，見表4。

由式（11）、（12）、（13）可計算出平均誤差和均方根誤差。

（11）

（12）

（13）

式中：△χi為i試樣理論值與試驗值的計算誤差；△χi為第試樣理論值與試驗值計算誤差的平均值；σTi為三軸試驗最大主應力值；σCTi為不同強度準則計算的最大主應力；η為均方誤差根。

將表3與表4中試驗數據、M-C計算數據、GM-C計算數據，分別在圖2、圖3中用散點和曲線表示。由計算結果可知：GM-C的△χi為5%，遠小于M-C的17%：GM-C的η為39，遠小于M-C的116：二者均實現了約3倍的收斂，精度更高，可信性更強，在各向同性巖土本構計算過程中，GM-C較M-C更真實，更合理。

綜上所述，根據均方根誤差和平均誤差結果可得出，廣義M-C強度準則對花崗巖真三軸試驗數據擬合精確度更高。

4 " 結論

針對M-C本構存在的強度準則計算平均誤差較大，且均方根誤差大的問題，本文對其進行研究，同時采用真三軸試驗儀器對花崗巖結構進行強度驗算，獲取了更為合理的廣義M-C強度準則，具體結論如下：

根據花崗巖真三軸試驗數據，對廣義M-C強度準則精確性進行了驗證，并與M-C強度準則精確度進行了對比。M-C強度準則計算平均誤差△χi=0.17，均方根誤差η=116；廣義M-C強度準則平均誤差△χi=0.05，均方根誤差η=39。廣義M-C強度準則可以較好的應用于計算最大主應力，且有較高的精度。

參考文獻

[1] 俞茂宏，彭一江.強度理論百年總結[J].力學進展，2004（4）：

529-560.

[2] 俞茂宏，M.Yoshimine，強洪夫，等.強度理論的發展和展望[J].

工程力學，2004（6）：1-20.

[3] 郭建強，劉新榮，黃武鋒，等.基于彈性應變能的Mohr-Coulomb

強度準則討論[J].同濟大學學報（自然科學版），2018，46（9）：

1168-1174.

[4] 郭建強，黃武峰，劉新榮，等.基于可釋放應變能的巖石擴容

準則[J].煤炭學報，2019，44（7）：2094-2102.

[5] 黃武峰.基于彈性應變能M-C強度準則的修正及工程應用研

究[D].貴陽：貴州大學，2020.

[6] 蔣磊，冉啟來，楊前冬，等.基于廣義M-C強度準則的修正[J].

水利規劃與設計，2022（10）：117-119.

[7] 鄧楚鍵，鄭穎人，朱建凱.平面應變條件下M-C材料屈服時的

中主應力公式[J].巖土力學，2008，29（2）：5.

[8] 王剛.花崗巖真三軸強度特性及神經網絡強度預測的應用研究

[D].沈陽：東北大學，2015.