一道中考壓軸題的能力要求及教學啟示

摘要：中考試卷的壓軸題是整卷精華，其針對學生有能力要求，對教師的教學有重要啟示意義.2022年揚州市中考第28題既緊密聯系教材，又具有創新意識，重點考查了“雙減”背景下新課標強調的模型意識、代數推理等數學核心素養.

關鍵詞：中考；能力要求；教學啟示

4 教學啟示

《義務教育數學課程標準（2022版）》總目標提出“通過義務教育階段的數學學習，學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界（簡稱‘三會’）”［1］.

4.1 夯實基礎，發散思維，提升能力

本試題第（1）問第①小題，雖然方法比較多，但也要求學生必須有扎實的基礎.Rt△ABC中的已知量是干擾項，需要學生用數學的眼光審視和聚焦Rt△ADE中BE＝BD的條件，去蕪存菁，如解法1和3從等腰三角形切入，無疑是此問的優解.幾何教學中，從已知到可知，由未知想需知，這是最基礎的推理題分析方法，要夯實學生的基礎.

數學是思維的體操，任何一道數學題的解答都應是先有想法，再有做法.

基礎題要發揮學生的主動性，

要激發學生的發散性思維，從不同的角度用數學的思維思考問題，例如第（1）問第①小題的不同解法在日常教學中都具有重要教學價值.

解題能力是學生數學素養的終端體現，運算能力是數學的童子功.數學語言的表達要規范，如第（1）問第①小題的解法2，利用同一性原理解題，體現了數學語言的表達技巧.第（2）問中，無論是第①小題中方程式的變形，還是第②小題中函數解析式的運算，都著重強調學生的運算能力，這要求學生平時就要做適量的、針對性的復雜運算，提升運算能力.

4.2 探究模型變式，強調代數推理

數學基本思想聚焦于三個方面：抽象、推理、模型，數學教學要注重模型變式的探究式教學［2］.如第（1）問第①小題的題源是來自于課本，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（如圖1，在Rt△ADE中，AB＝BE，求證：DB＝12AE）.本題第（1）問第①小題為它的變式命題，學生感到既熟悉又陌生.若將題目換成“點E在線段AB的延長線上且BD＝12AE，求證AD⊥DE”，此題也可解，但難度稍有提升；如果點E在線段AB上且DE＝12AE，則就與第（1）問第②小題類似，用“直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半”可解；若不強調點E的位置，此變式需就兩種情況進行分類討論.數學幾何教學中，研究一個真命題的逆命題是否成立是常見模型的變式方法，研究一個幾何模型的性質時，“倒過來”探究它的判定同樣具有重要的價值.第（2）問中的第①小題，從一線三等角全等的模型過渡而來，從知識生長的角度對幾何模型進行變式也是模型變式教學的方向.本題跳出常見的“8字型”“A字型”相似，利用全等是特殊的相似來設計“k字型”相似的模型，別出心裁.

數缺形時少直觀，形缺數時難入微，構建代數推理的模型是解決一些幾何難題的法寶.如本題第（2）問第①小題，結合相似、勾股定理，通過設未知數構造方程，解得AE的長度；本題第（2）問第②小題，通過構造平面直角坐標系，利用函數解得AE的最小值.正如偉大的數學家笛卡兒設想的，大部分的數學問題都可以通過假設字母抽象成代數問題，絕大部分代數問題都可以用方程和函數解答.數學教學中，要強調運用方程、函數的代數推理思想去解決不同類型的數學問題.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022：5-6.

［2］史寧中.數學基本思想18講［M］.北京：北京師范大學出版社，2016：1-8.