無刻度直尺作圖要有理有據

摘要：從某學校組織的第二階段數學檢測試卷中一道用無刻度直尺作圖幾何題的答題情況來看，原題非常簡單，但學生的正確率只有4.75%.由此可見，像無刻度直尺作圖這樣以實踐操作為主的幾何題，目前是八年級學生的“軟肋”.為此，本文中先對學生的錯解進行分類并分析錯因，然后針對只有無刻度直尺條件下的作圖題該如何解決提出方法和策略.

關鍵詞：無刻度直尺作圖；實踐操作；理論依據；動手實踐能力

尺規作圖是當前初中數學幾何部分比較受歡迎的考查題型，不僅對學生的理論知識進行了摸底，而且考查了學生的動手操作能力，真正做到了理論與實踐相結合［1］.然而，從某學校組織的第二階段數學檢測試卷中的一道用無刻度直尺作圖的幾何題的解答情況來看，當前很多學生對尺規作圖知之甚少.究竟是何種原因導致的？有無解決辦法？本文中對此進行了分析和研究.

1 原題呈現

如圖1-1，1-2所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠C=50°，∠A=100°.請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖.（保留作圖痕跡，不寫畫法.）

（1）在圖1-1中，以AD為腰畫一個等腰三角形ADE，且點E與點B不重合；

（2）在圖1-2中畫一個140°的角.

2 錯解及原因分析

從全校442份八年級學生所考試卷的批改情況來看，本題的錯解主要可以分成以下幾類.

2.1 沒有讀懂題意

讀懂題意是理清思路的重要前提，只有讀懂了題意才能理清思路，才能正確解答問題［2］.然而，錯解本題的學生大部分都沒有讀懂題意，主要表現在以下兩個方面：

首先，沒有注意到“僅用無刻度的直尺”這個條件.如圖2所示的錯解中，竟然出現了圓弧的作圖痕跡，說明學生將“僅用無刻度的直尺”理解為“用圓規和直尺作圖”.

其次，沒有注意到“無刻度”這個條件.如圖3所示的幾種錯解中，出現了作垂線、作平行線和作角平分線等作圖痕跡，而僅用無刻度直尺無法將之畫出.

最后，沒有注意到“不寫畫法”這個條件，寫出作法的同時給出了證明過程，屬于雙重錯誤.如圖4所示，將作法和證明過程寫出，反而錯誤.

2.2 沒有尊重事實，畫圖無理無據

如圖5所示的幾種錯解，學生利用無刻度直尺隨意畫出了一個140°的角.從圖中可以看出，這些邊的畫法均缺少理論依據，屬于隨意亂畫，完全沒有尊重“無刻度直尺”作圖的事實.

2.3 解題過程不規范，缺少結論

在為數不多的正確畫圖的學生當中，有一部分學生因為解題過程不規范而扣分，導致他們沒有得到滿分.如圖6所示，該生的作圖過程沒有問題，完全符合題目要求，但缺少了結論.

3 用無刻度直尺作圖的要點及訓練方法

從以上錯解可看出，學生對“僅用無刻度直尺作圖”的題意理解不夠準確.事實上，在遇到“僅用無刻度直尺作圖”和“保留作圖痕跡，不寫畫法”的作圖要求時，通常有以下幾個要點需注意：

第一，直尺無刻度.既然直尺無刻度，那么就無法取中點、作垂直、作平行、平分角［3］.

第二，“僅用”意味著只能利用無刻度直尺作圖，任何使用除此之外的工具作圖的皆視為錯誤，如圓規、量角器、三角尺等［4］.

第三，“保留作圖痕跡”說明作圖痕跡不能擦，也不能有多余的線.

如果是僅用無刻度直尺作圖，那么在日常教學中教師該如何指導學生訓練呢？在此，筆者分享自己在課堂中的一些做法，希望與廣大一線教師進行交流：

首先，讓學生準備一張沒有任何線條和文字的白紙，將之折成一把無刻度的直尺.

然后，引導學生思考“這把直尺可用來做什么？”等問題.這時候，學生或單獨思考、操作，或小組內交流、操作，慢慢地學生發現用這樣的直尺只能畫直線、連接兩個點畫線段、將線段延長;不能取線段的中點，不能畫垂線，也不能畫角平分線，更不能畫任意的一個角.

之后，師生一起總結無刻度直尺的作用.

最后，教師分享僅用無刻度直尺作圖的技巧，如連點生點法、延長生點法等，即在僅用無刻度直尺作圖的條件下，只能通過連接兩個點或延長線段等方法產生更多的點來實現構圖目的.當然，教師還需要給學生補充無刻度直尺作圖一定要符合事實，一定要有理論依據，即是否能利用已學知識證明該畫法正確.如果無法提供正確的證明理論依據，雖然符合以上要求，但仍不是正確的作法［5］.

4 錯解糾正

本題的正確解法應如圖7所示.

解：（1）△AED即為所求作的等腰三角形;

（2）∠ADE即為所求作的140°的角.

5 結語

綜上所述，無刻度直尺作圖雖然是比較基礎的知識點，但在歷年中考出現的頻率較大，學生易在本文中提及的幾個方面出錯.作為初中數學教師，一方面要從“無刻度直尺”的實際操作出發，另一方面要注重理論依據在作圖過程中的體現.這樣一來，學生對這類問題才能形成正確的理解，才能不斷提升學生的實踐操作能力，對其綜合水平的提升也具有重要作用.

參考文獻：

［1］劉鵬， 張丹， 宋云鳳. 發揮直觀想象，發展推理意識——尺規作圖教學的思考與實踐［J］. 小學教學（數學版）， 2022（5）：4-7.

［2］張丹， 劉延革，于國文，等. 尺規作圖成就思維的精彩——“畫一個三角形”教學實踐與思考［J］. 小學教學（數學版）， 2022（5）：11-13.

［3］張萬梅. “得法”更要“明理”，追求有邏輯的作圖——從中考答卷談尺規作圖教學［J］. 中國數學教育， 2019（23）：31-33，42.

［4］李發宏. 見“箏形”現“真形”——用尺規作基本圖形課堂教學片段的設計［J］. 數學學習與研究， 2018（7）：100.

［5］錢德春. 操作·聯想·遷移——如何想到“作一個角等于已知角”的尺規作圖方法的［J］. 初中生世界， 2020（Z1）：79-80.