例析如何添加輔助線構造等腰三角形

摘要：等腰三角形作為初中數學幾何部分的重要知識點，不僅對解決幾何問題具有重要作用，而且也是歷年中考數學命題的熱點，特別是如何添加輔助線構造等腰三角形，是對初中生數學思維能力的考查.基于此，本文在介紹等腰三角形性質的基礎上，借助兩道例題分析如何添加輔助線構造等腰三角形.

關鍵詞：等腰三角形；輔助線；構造；角平分線；倍角

1 引言

等腰三角形的性質和判定是歷年數學中考的必考點，然而學生在遇到幾何題時難以發現或構造等腰三角形，繼而無法利用其性質和判定解決問題［1］.基于這種情況，同時又考慮到構造等腰三角形是解決初中數學幾何問題的重要方法，本文中就如何添加輔助線構造等腰三角形進行研究和分析，以供參考.

2 理論基礎

通過對那些需要構造等腰三角形才能解決的初中幾何題進行分析后不難看出，添加輔助線構造等腰三角形的理論基礎主要來自兩個方面：

首先，等腰三角形的性質.構造等腰三角形主要是構造出兩條相等的邊或兩個相等的角，這是因為等腰三角形具有“等邊對等角”的性質［2］.另外，“三線合一”也是突破該類問題思維瓶頸的一個知識點.

其次，等腰三角形的判定.要構造等腰三角形，需要根據等腰三角形的判定方法判斷構造出的三角形是否為等腰三角形，只有這樣才能進一步使用等腰三角形的性質解決問題.

當然，在解決這類問題時，還需要結合其它幾何知識.例如，證明或求解的過程中可能會利用全等三角形等，那么全等三角形等知識點也是添加輔助線的重要啟發.

3 例題分析

筆者結合相關研究內容以及一線教學經驗，認為添加輔助線構造等腰三角形可從以下兩個方面出發.

3.1 根據倍角關系作輔助線

在幾何題中，如果出現了倍角關系，那么極有可能需要構造出等腰三角形進行分析解答.因為等腰三角形具有“等邊對等角”的性質，所以頂角的鄰補角等于底角的兩倍.如例題1.

4 要點說明

很多初中幾何問題解題時都需要作出相應的輔助線，而有技巧地作出所需的輔助線，是高效、巧妙解決數學問題的前提.

本文中通過兩道例題介紹了兩種利用輔助線構造等腰三角形的方法，也是平時訓練中常見的方法.在使用這兩種方法構造等腰三角形時，需注意以下幾個要點：

首先，注重化歸思想的培養和利用.在本文兩道例題中，均使用了化歸思想.由此可見，這類問題對化歸思想的依賴程度非常高，對尚未有化歸思想或不會運用化歸思想的學生形成了巨大考驗.因此，教師在日常教學過程中，要注重學生化歸思想的培養［3］.筆者認為，教師可從邊轉化、角度轉化方面開始簡單的訓練，在充分理解“三線合一”“角平分線”“垂直平分線”內容的前提下發揮其作用，為作輔助線構造等腰三角形奠定豐富的理論基礎.

其次，注重發散思維的培養.在例1中，采用了兩種不同的方法，且兩種方法之間存在一定聯系.對于△ABD而言，可以延長的邊有三條，但是分析后發現有利于解題的線段延長共有兩種情況，即延長DB或AB.如此一來，就形成了兩種不同的解題方法.那么如何由延長DB聯想到延長AB，這就是學生發散思維的體現.筆者建議，教師在教學過程中，引導學生延長某一線段時，可從延長方向上激發學生的思維.

5 結語

總之，利用作輔助線的方法構造出等腰三角形是解決幾何類問題常用的方法［4］.無論是學生平時訓練，還是教師日常教學，可以將該內容形成專題，進行更充分的探討與學習.這對教師的深入研究和學生的深入學習都非常有意義.

參考文獻：

［1］陳霄劍. 學生為什么這么快就知道添加輔助線——由等腰三角形性質定理證明的教學片斷而引發的思考［J］. 中小學數學（初中版）， 2014（10）：51-52.

［2］王鍵. 深入等腰三角形，探究輔助線添加——對等腰三角形輔助線添加技巧的探討［J］. 數學教學通訊， 2020（29）：70-71，80.

［3］胡寧. 縱有千條妙計 必有一定之規——構造等腰直角三角形解題例談［J］. 學生之友（中考月刊）， 2012（Z1）：7-8.

［4］張文國. 例說等腰三角形的輔助線的幾種作法［J］. 科教導刊：電子版， 2018（17）：1.