滲透數學思想,提升學習效果

數學學科與生活緊密相關，但是很多學生卻覺得數學非常的抽象和陌生.究其原因是學生學習了數學知識，卻沒有掌握數學思想，因而無法將其付諸實踐.學會學習的方法遠比學會知識本身來得重要，知識隨著時間的推移或多或少會有遺忘，但是學會了學習的方法就能指引我們在成長的道路上不斷學習，不斷進步，從而保持長期學習、終生學習，這也是時代發展的必然要求.本文中擬從如何滲透數學思想的角度，結合教學實踐談一談自己的做法，供大家參考！

1 何謂數學思想？

數學思想是數學的本質，是現實世界中問題的數學化，是人們利用自己的思維，采用數學方法處理問題的結果.數學思想包括很多方面，如函數方程、數形結合、分類討論、化歸、類比、建模等，總之，它是存在于基礎數學中的具有奠基作用的基礎思想［1］.掌握基本數學思想，可以使學生學會數學知識的遷移和運用，感受現實世界中數學知識的奇妙，學會使用數學，樂于欣賞數學，愛上學習數學.

2 如何滲透數學思想

數學思想的滲透必然需要在課堂中完成，首先教師需要具備滲透數學思想的意識，其次要尋找滲透方法.學生的困難在于如何將數學知識進行轉化和遷移，因此在教學和試題訓練中要著重加強對學生思維的訓練.

2.1 多角度做到一題多解

數學思想的培養首先需要思維的鍛煉.在解答試題時嘗試多種角度多種解法，能有效鍛煉思維的發散性和深刻性，將數學知識進行多角度的綜合運用.

案例一 幾何證明

例1 如圖1，在梯形ABCD中，E是AD的中點，AB∥CD，CD=1，AB=2，BC=3，證明CE⊥BE.

生1：我們可以利用勾股定理進行逆向運用，證明三角形的兩條邊互相垂直.如圖2，過點C作CF⊥AB，垂足為F，則得到矩形AFCD和直角三角形BCF.在Rt△BCF中，由勾股定理，可得

CF=22，即AD=22.

又因為E是AD的中點，所以AE=DE=2.利用勾股定理可得CE=3，BE=6.

最后通過勾股定理的逆定理證明CE⊥BE.

師：生1運用勾股定理和逆定理，通過作輔助線的方式證明，非常好，還有其他方法嗎？

生2：我們可以利用“如果一個三角形一條邊的中線與這條邊的一半相等，那么這個三角形是直角三角形”來證明.如圖3，連接E與BC的中點F，那么線段EF就是梯形ABCD的中位線，利用梯形的性質，可以證明CE⊥BE.師：生2通過三角形和梯形的性質同樣證明了CE⊥BE，證明方法似乎比較簡便，說明同學們對這個原理的運用是非常到位的，還有其他想法嗎？

生3：我的方法比較復雜，我們可以構造出一個等腰三角形，利用等腰三角形的性質進行證明.如圖4，設BA的延長線與CE的延長線相交于點F，利用△AEF≌△DEC，得到BF=BC.利用等腰三角形三線合一的性質，可以證明BE⊥CF，也就是CE垂直于BE.我們也可以設BE和CD的延長線相交于點F（如圖5），同樣可以證明CE⊥BE.

例1中教師充分發揮了學生的主觀能動性，運用一題多解的思路，激發學生的思維，充分彰顯了學生的無限潛力.更為重要的是在多種解法中，學生靈活使用了多個數學原理，如勾股定理及其逆定理、直角三角形的判定、梯形的中位線定理等，可以說通過一道題復習了多個數學知識點，并且使學生學會了轉化和遷移的思想方法，起到了事半功倍的效果.因此，一題多解是有效訓練學生思維、滲透數學思想的方法.

2.2 抓本質做到多題一解

與一題多解不同，多題一解是訓練學生透過現象抓住本質.題目千變萬化，題海也沒有盡頭，如何才能減輕學生的負擔，實現高效學習，需要教師引導學生透過現象抓住本質，在萬千變化的題型中找到同樣的規律，實現高效低負.

案例二 線段垂直平分線性質的運用

例2 如圖6，在三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=12，AB的垂直平分線與BC相交于點E，AC的垂直平分線與BC相交于點N.（1）求∠EAN的度數;（2）求三角形AEN的周長.

例2利用垂直平分線的性質，不難求出三角形AEN的周長等于BC的長，∠EAN的度數等于∠BAC減去∠B與∠C的和.那么，如果對題目進行一些修改，刪掉AB=AC這個條件，將∠BAC=120°改為∠BAC=100°，其他條件不變，是否還能得到問題的答案呢？

學生經過討論探究后發現，兩道題的解答方式是一樣的.無論AB與AC是否相等，只要∠BAC的度數大于90°，都可以得到三角形AEN的周長等于BC的長，∠EAN的度數等于∠BAC減去∠B與∠C的和.所以我們可以認識到看似不同的兩題，其實際的本質是一樣的，有效地訓練了學生排除條件干擾，抓住本質解決問題的能力.

案例二采用多題一解的題組形式進行練習，有效避免了學生在練習中的盲目性和零散性.教師將同樣解法的試題組成一組進行訓練，便于學生加深對解題方法的認識，進而提升數學解題技能，使學生的練習效率得到了最大程度的提高.

2.3 改條件做到一題多變

數學命題都體現著數量關系的邏輯推理，其結論和條件之間有著必然的聯系，甚至可以相互轉化.如果不能理清其中的數量關系，就難以做到靈活運用數學知識，因此可以通過改變題目的條件或者結論進行變式訓練，做到一題多變，一題多練［2］.

案例三 一條定理多種推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.

通過交換定理的結論和條件，再根據圓的對稱性，可以依次得到更多的結論：

（1）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦及弦所對的另一條弧;

（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

（3）經過圓心的弦的垂直平分線，同時平分這條弦所對的兩條弧；

（4）經過圓心及平分弦所對一條弧的直線，平分弦所對的另一條弧.

案例三通過交換定理的結論或條件，“玩轉”定理，獲得了四條不同的結論，給學生解題提供了諸多便利.當然這只是一題多變的其中一個例子，在很多數學題，特別是幾何證明類題型中，條件和結論互換使用的例子更多.通過一題多變可以發現更多數學知識的使用方法，更好地發展學生思維，滲透數學思想.

2.4 用類比研究類似問題

類比轉化是數學中常用的思想，也是解決數學問題必備的知識技能.類比和轉化類似于一種推理思想，能將一個數學知識點的特性轉化到類似的數學對象當中去，可以說類比是我們解決未知數學問題的一種重要方法.

案例四 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點

師：（多媒體展示三角形圖片）請同學們作出這個三角形三條邊的垂直平分線，并觀察有什么特點.

生1：我發現三條邊的垂直平分線相交于一點.

師：大家的作圖時有沒有發現三條邊的垂直平分線不是相交于一點的呢？

生：沒有.（大家紛紛搖頭.）

師：看來這是一個定理，那么我們用什么方法來證明呢？

生2：我們可以在任意兩條邊作垂直平分線，它們是相交于一點的.那么利用“與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”，可以得到這個點也在第三條邊的垂直平分線上.

師：利用了垂直平分線的判定，非常好！

案例四采用了類比和轉化的思想，類似地，二次根式的合并同類項的計算等也都是采用了類比的思想.通過類比學生能夠對掌握的知識點進行舉一反三、靈活熟練地使用，掌握了這一方法在獨立解決問題時，也能使已學知識得到最大限度地使用，進而拓展思維的廣度［3］.

總之，數學學科的學習效果從來不會在強迫和被動中實現，只有讓學生產生興趣，樂學、愛學，才能真正認識到數學的奇妙.然而，很多學生卻覺得數學艱澀難懂，害怕數學，厭倦數學，難以感受數學之美，所以教師應在教學中滲透數學思想，從試題的解法、教學的情境、規律的總結方面帶領學生學會認識數學，使用數學，愛上數學.

參考文獻：

［1］王明芬.自主互動教學在初中數學復習課中的運用［J］.新課程研究，2019（13）：91-92.

［2］董林偉，喻平.基于學業水平質量監測的初中生數學核心素養發展狀況調查［J］.數學教育學報，2017（1）：7-13.

［3］朱曉楠.基于核心素養下的中學數學教學研究［D］.大連：遼寧師范大學，2017.

作者單位：福建省莆田市涵江區莆田第十七中學