認知沖突顯必要,課堂推進現邏輯

摘要：教師有意識地通過情境問題的設計促使學生產生認知沖突，從而激發學生探索新知的欲望，達到更優的課堂教學效果.本文中以“算術平方根”為例，基于學生的已有知識水平，創設層層推進的問題情境，使學生發生認知沖突，從而更好地認識事物的本質，理解算術平方根的概念，感受學習算術平方根的必要性.

關鍵詞：必要性；存在性；反思

建構主義學習理論認為，“情境”是學習環境中的四大要素之一.在課堂教學中，教師通過創設合理的教學情境，打破學生原有的認知平衡，讓學生發現不能用原有的知識解決問題，從而產生認知沖突，感受學習新知的必要性.邏輯推理是數學學科核心素養之一，通過學習，學生學會運用邏輯思維思考問題［1］.同時，“至簡數學”理念強調“讓學生簡單地學數學”［2］.因此，教學設計要體現邏輯性，并且在教學中讓學生感悟數學的邏輯性.

筆者參加了一節市級公開課的備課研討活動，課題是人教版七年級下冊第六章“實數”的第一課時“算術平方根”.備課研討中，關于如何體現學習算術平方根的必要性以及如何通過課堂的推進體現數學的邏輯性的討論給筆者留下了深刻的印象.故撰寫成文，以期與更多同行一起探討.

1 備課思考

1.1 解讀教材

“算術平方根”是“實數”章節的起始課，為學生學習平方根、立方根、實數等主要概念做準備.“算術平方根”在中學數學中占有重要的地位，它不僅是學習二次根式、一元二次方程以及解直角三角形的基礎，也為學習高中的不等式、函數以及解析幾何等大部分知識做好準備.

1.2 關注學情

七年級的學生已經知道加法與減法、乘法與除法互為逆運算，也學習了乘方運算，并且求正方形的面積問題在小學已經掌握得非常好，因此對于本課時引入的問題——已知正方形的面積求正方形的邊長，學生不難解答.

1.3 教學架構

根據教材的安排，求某個數的算術平方根，教材中出現的數都是平方數，容易給學生產生一種錯覺：只有平方數或者是由平方數進行乘除運算的結果才有算術平方根，求算術平方根可以根據乘方的知識進行解答，本節課就多學習一個新概念而言，沒有什么別的不同的地方.不難看出，學生對于定義中“正數x”的理解不太清晰，甚至是有誤的.如何設計本課時內容才能讓學生更加清晰地了解學習本節課的必要性并消除上述錯覺呢？面對新的知識，課堂該如何推進才能凸顯數學的邏輯性、才符合學生的認知規律呢？

為很好地解決以上問題，筆者嘗試通過創設情境生疑、概念教學破疑等環節，設計合理的思維過程，讓學生了解學習算術平方根的必要性，體會無理數（暫不出現無理數的概念）的存在性，理解算術平方根的概念，會用根號表示正數的算術平方根，于是形成如圖1的教學框架，其中“概念教學破疑”環節的流程如圖2所示.

2 教學過程與說明

2.1 創設情境——生疑

（1）問題情境：學校要舉行美術作品比賽，小歐同學想裁出一塊面積為25 dm2的正方形畫布，畫上自己的得意之作參加比賽，這塊正方形畫布的邊長應取多少？

請你說一說你的答案及解決問題的思路.

（2）填表1.

（3）追問：如果正方形的面積是2呢？（稍作停頓.）繼續追問：正方形的面積是3呢？正方形的面積是5呢？正方形的面積是6呢？

設計意圖：根據教材的安排，用學生非常熟悉的“已知正方形面積求正方形的邊長”的問題引入新課.學生根據已有的經驗，發現此問題與“已知正方形邊長求其面積”互逆，從而得到解決問題的辦法；再通過填寫表格，揭示此類問題的本質.接著把表格中的數據寫成“12，22，32，62，47”的形式，如此變化的目的不僅是為了引出“追問”的問題，更重要的是讓學生感受到利用之前所學的知識并不能完全解決問題，并且通過“追問”中一連串的數據，讓學生感受到不能解決的問題不是特例.這與學生已有認知產生了沖突，讓學生感受到了學習新知“算術平方根”的必要性.

2.2 概念教學——破疑

教師講授算術平方根的概念，舉例進行說明.學生仿照進行練習，教師板書.

定義：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根.a的算術平方根記為a ，讀作“根號a”，a叫做被開方數.規定：0的算術平方根為0.

問題 因為12=1，所以1是1的算術平方根，記為1=1；

同樣道理，因為22=4，所以_______是_______的算術平方根，記為"" ".

同學們能否仿照上面的題目進行舉例？每兩個同學為一個小組，至少說出兩個數的平方根，接著再選兩個小組進行展示.

板書：

定義：x2=a（xgt;0），x叫做a的算術平方根，記為a；

由12=1，得1是1的算術平方根，記為1=1；

由22=4，得2是4的算術平方根，記為4=2；

由32=9，得3是9的算術平方根，記為9=3；

由102=100，得10是100的算術平方根，記為100=10.

設計意圖：問題從“已知正方形的面積求正方形的邊長”這個有背景的數學問題過渡到純數字的“已知一個正數的平方，求這個正數”的數學問題，從而引出算術平方根的概念.教師再根據表1中的結果，對照定義進行舉例，讓學生更加理解定義中的正數x，消除誤解.同時為引出例題中2，3，5等數據的算術平方根作鋪墊.

2.3 鞏固練習——答疑

請同學們再次理解黑板上的板書，然后完成以下練習.

（1）求下列各數的算術平方根：

①225； ②100； ③4964； "④0.01.

（2）讀出下列各數，說出其表示的意義，并求出各式的值：

①1；

②121；

③ 144；

④925；

⑤32；

⑥0.0025.

追問：2怎么讀，表示什么意義，結果又是多少呢？

設計意圖：

將教材中的例題與練習整合改編成兩道練習題，讓學生再次理解板書內容.完成兩道練習后呈現追問的問題，目的是引出下一環節.

七年級學生獨立思考解決問題的能力還不強，并且算術平方根的概念很抽象，因此采用了讓學生在理解黑板板書內容基礎上模仿板書進行解答的教學方式，既培養了學生的閱讀理解能力，也達到了理解概念、運用概念解決問題的目的.

2.4 理解2——析疑

2.4.1 理解2的意義

教師根據算述平方根的定義進行解析：

對于正數x與a，當x2=a時，x叫做a的算術平方根，記為a，即x=a.

把x=a代入x2=a，

有（a）2=a.

也就說，a是a的算術平方根.

例如，4是4的算術平方根，而我們知道4=2，所以習慣說2是4的算術平方根.

那么，2是的算術平方根，2等于多少呢？

追問：3表示的意義是什么？5呢？6呢？又分別等于多少呢？

2.4.2 理解2的存在性

師：根據算術平方根的定義，知道了2是2的算術平方根.2在現實生活中是否存在呢？

學生無法回答的時候教師繼續引導.

師：同學們可以結合情境引入中的問題，思考“有面積為2 dm2的正方形嗎？”

學生想不到的時候，提示：找不到一個面積為2 dm2的正方形，可否考慮找兩個呢？

這個時候，學生就容易想到：兩個面積都是1 dm2的正方形其總面積就是2 dm2.

師：同學們能否把兩個面積為1 dm2的正方形變成一個面積為2 dm2的大正方形呢？

學生動手操作，然后再指出2dm是哪條邊的長度.

追問：從探究的過程不難發現，2既不等于1，又不等于2.那么，2到底是多大呢？

設計意圖：對于平方數的算術平方根，學生比較容易理解；非平方數的平方根由于太抽象了，學生難以理解.因此通過概念的解析幫助學生理解2的意義，用拼圖的方式讓學生感受2的存在性.至于2有多大，則先讓學生有懸念，下節課再解答.

2.5 小結提升——去疑

（1）判斷（正確的在括號內打“√”，錯誤的打“×”）：

①3是9的算術平方根；（" ）

②0的算術平方根是0；（" ）

③36的算術平方根是-6；（" ）

④-5是-25的算術平方根. （" ）

（2）填空：

①169的算術平方根是"" "；

②400的算術平方根是"" "；

③3的算術平方根是"" "；

④5的算術平方根是"" ".

（3）填空：

①16=_______；

② 0.16= _______；

③72=_______；

④ 116=_______；

⑤2564=_______；

⑥（-3）2=_______.

（4）結合以上的題目，請你談談這節課的收獲.

設計意圖：概念課的教學，讓學生掌握概念非常關鍵，因此采用判斷題來讓學生理解概念，通過兩道練習讓學生鞏固概念，消除心中的疑惑.

3 教學思考

3.1 巧追問，凸顯認知沖突

“實數”第一課時“算術平方根”是章節起始課，而本課時中引出的無理數又是初中階段數系擴充學習的最后一類型的數，因此本課時有著特殊的意義.根據課本教學內容的安排，從第40頁開始至第41頁的練習，都可以根據已有的舊知識進行解決，讓學生感覺沒有新內容，只是學習了一個新定義；還會產生的一種錯覺是：被開方數是平方數或者是由平方數進行乘除運算的結果才有算術平方根.為了避免此錯誤認識，在教學過程設計一個追問的環節，讓學生認知產生沖突，了解到以前學習的知識不能完全解決問題，需要學習新知；同時也知道不能解決的問題不是特例，是一系列數.

3.2 妙回歸，漸趨認知平衡

在舊知的基礎上學習新知，可以消除學生的陌生感.因此在教學設計中，無論是引入的問題，還是概念講授后的舉例，都是學生熟悉的平方數，運用已有的知識可以解決.

學生對“ ”比較難理解，是由于一個非負數放在根號下就表示求這個數的算術平方根，屬于一種運算，而算術平方根本身又是一個數，所以學生理解比較困難，特別是被開方數開方開不盡的時候，學生更難理解.因此教學時，先讓學生通過訓練熟練到一定程度后，再引出開方開不盡的數，這樣學生就容易理解多了.這時，學生的大腦再進行重新整理，慢慢地接受新知，認知漸趨平衡.

3.3 設鋪墊，激發探究懸念

學生第一次接觸2，很難理解如此的一個數字代表的涵義.因此，教學中先從特殊的平方數開始再到一般的正數，這種鋪墊讓學生更易于理解算術平方根的概念；教材在引入算術平方根時利用了已知面積求邊長的實際問題，這樣的情境引入，為學生通過面積探究2作鋪墊，更易于理解2的存在性；學生通過層層深入的學習又會產生新的疑問：2是存在的，那它具體是多大呢？這就為下一節課作鋪設了.

3.4 巧設計，演繹邏輯推理

數學的邏輯性不僅僅在幾何證明過程中才能體現出來，在日常的生活中、教學中也可以很好地體現.例如算術平方根概念的學習過程中，先是發現問題，接著解決問題；而要解決問題，已有的知識不夠用時先學習新知；而新知——算術平方根概念的學習又是符合學生認知過程的：通過比較類比找出共同屬性，再抽象檢驗確認本質屬性，最后概括形成概念［1］.再例如2的學習，先是理解其意義，知道它是存在的，再探究其大小.整個教學過程充滿邏輯的力量，盡顯數學之魅力.

參考文獻：

［1］何小亞，姚靜.中學數學教學設計［M］.2版.科學出版社，2017：40-43.

［2］鄧凱.“至簡數學”秉承的基本觀念［J］.中學數學，2022（10）： 18-19，23.