合情推理與演繹推理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探究

摘" 要：經(jīng)過多年的一線教學(xué)實(shí)踐，筆者意識到數(shù)學(xué)推理能力在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性。數(shù)學(xué)推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重難點(diǎn)，要想培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力是有一定的難度的。數(shù)學(xué)推理能力包括兩個方面，合情推理和演繹推理，二者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)用的過程中是相輔相成的。教育工作者應(yīng)明確，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力是十分必要的。

關(guān)鍵詞：合情推理;演繹推理;初中數(shù)學(xué)教學(xué)

一、數(shù)學(xué)中合情推理與演繹推理的含義

合計推理，顧名思義就是合乎情理的，趨向于真實(shí)的一種推理。它一方面是根據(jù)當(dāng)下已經(jīng)展現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)事實(shí)和正確的結(jié)論進(jìn)行推理，另一方面是根據(jù)個人的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行推理，比如說做過的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或者是其他類型的數(shù)學(xué)實(shí)踐，還包括一些通過直觀上的想法而進(jìn)行的一種推理，主要是借助實(shí)驗(yàn)觀察、歸納類比等方法。

演繹推理是一個從一般到特殊的過程，以一個一般性的前提為基礎(chǔ)，通過具體的推導(dǎo)也就是“演繹”過程，得出具有個別性的結(jié)論或者是陳述。演繹推理的形式主要有三種形式，要想熟練地運(yùn)用演繹推理解決數(shù)學(xué)問題，首先要做的就是要掌握演繹推理的一般原理和原則，并將其作為思想指導(dǎo)和依據(jù)。其次就是要對自己研究的課題或者是要解決的問題有充分的認(rèn)識和深刻的了解，能夠分清問題的現(xiàn)實(shí)性和特殊性，這樣才能夠有把握通過一般性的事實(shí)推斷出用于特定事物的結(jié)論。

二、合情推理與演繹推理二者的關(guān)系

合情推理與演繹推理在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中屬于相輔相成的關(guān)系，這二者之間并不存在沖突和矛盾。數(shù)學(xué)公式原理的創(chuàng)造過程與其他學(xué)科的知識的形成過程是具有一致性的，都是從無到有的一個過程。在驗(yàn)證某一數(shù)學(xué)公式或者定理之前，都會對其進(jìn)行一定的猜測，然后再在一定的思路引導(dǎo)下進(jìn)行推理驗(yàn)證，這個過程需要一次次的推理嘗試。整個過程是一個論證推理的過程，但前提是得有一個合情的推理。因此這二者是相輔相成的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，是無法將二者完全割裂開來的，其是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中不能缺少的兩個部分。

三、合情推理與演繹推理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

隨著數(shù)學(xué)教育的發(fā)展和進(jìn)步，數(shù)學(xué)學(xué)科的教師和該學(xué)科的教研工作者對合情推理和演繹推理在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性有了進(jìn)一步的認(rèn)識。很多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中對學(xué)生這兩種數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)也進(jìn)行了不少的嘗試。希望通過不斷的探索嘗試，能夠進(jìn)一步提升學(xué)生利用這兩種推理能力學(xué)習(xí)的能力，進(jìn)一步提高初中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量。

例如在學(xué)習(xí)九年級下冊“銳角三角函數(shù)”（北師大版），教師完全可以引導(dǎo)學(xué)生遵循“知識復(fù)習(xí)回顧—猜想—論證—實(shí)際運(yùn)用”等學(xué)習(xí)模式。首先讓學(xué)生對課本上給出的例圖進(jìn)行觀察。課本中給出的例子是生活中常見的場景，是一個梯子靠在墻面上，學(xué)生都不會對這個場景陌生。教師先引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境設(shè)置問題：梯子AB和EF哪個更陡一些？用集中判斷的方法來判斷。然后學(xué)生會根據(jù)問題進(jìn)入第二個過程，那就是借助自己的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考。這個過程就是數(shù)學(xué)過程中具有普遍性的一種教學(xué)模式，無論學(xué)習(xí)哪一模塊的知識點(diǎn)都可能會用到這個學(xué)習(xí)過程。在當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計中，也經(jīng)常可以見到引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用合情推理和演繹推理模式學(xué)習(xí)的影子。例如在銳角三角函數(shù)教材設(shè)置中，教材的第二部分就是想一想，通過將生活中的場景數(shù)學(xué)化，以三角形的形式進(jìn)行代替，要求學(xué)生進(jìn)行猜測。梯子的兩邊分別是AB和BC，然后從斜邊AB上取一點(diǎn)B1，延長垂直于地面，然后交點(diǎn)為C1。例如教材中的例子說“小明想通過測量梯子BC、AC”這兩條邊的比來說明梯子的傾斜角度。而小亮則認(rèn)為要通過B1C1和AC1的比來算出梯子的傾斜角度，教師可問學(xué)生是否同意小亮的看法，提問小明和小亮兩人算的這兩個比值都有什么意義。除此之外，教師還可以要求學(xué)生考慮改變B1這個點(diǎn)在梯子上的位置的話，會得出什么樣的結(jié)論。計算比值的過程也就是人們所說的第三步論證的過程。經(jīng)過不斷的驗(yàn)證計算，可以發(fā)現(xiàn)一步步地驗(yàn)證tan∠A=∠A的對邊∠A的臨邊。當(dāng)銳角A變化時，tan的數(shù)值也會隨之而變化。

例如求特殊角的三角函數(shù)值，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，特殊角的學(xué)習(xí)主要包括30°、45°、60°這三個角，這部分的學(xué)習(xí)也是完全可以借助演繹推理和合情推理的。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過tan∠A的計算方法。在學(xué)習(xí)sin和cos時自然就會考慮二者是否有相似的地方，是否可以采取相同的方式推理。帶著這樣的想法，學(xué)生就會進(jìn)行下一步驗(yàn)證推理。首先教師可以讓學(xué)生對自己常用的三角板進(jìn)行觀察，因?yàn)槿前逭脦в袑W(xué)生所要學(xué)習(xí)的特殊角，這就是該部分學(xué)習(xí)能夠用到的最便利的學(xué)習(xí)工具。教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)sin30°，讓學(xué)生知道這是怎樣來的。然后讓學(xué)生通過合情推理和演繹推理的方式來自學(xué)sin60°，要求學(xué)生和同伴進(jìn)行交流。同樣的，學(xué)習(xí)完sin之后，再以同樣的方式讓學(xué)生學(xué)習(xí)cos。在將這三個三角函數(shù)學(xué)習(xí)完成后，要求學(xué)生填寫教材中間的統(tǒng)計表格，以表格的形式將這三種三角函數(shù)統(tǒng)計下來，方便日后的記憶與回顧。其實(shí)知道了一種計算方法，其他的就完全可以采取類推的方式來計算，即使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中忘記了某個三角函數(shù)的數(shù)值，也完全可以通過自己畫一個三角形然后進(jìn)行推理的方式得到正確的答案。在這樣的推理學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會體驗(yàn)到通過推理得出自己想要的答案的那種成就感，這就是很完整的一個思維延伸與開拓的過程。

例如學(xué)習(xí)二次函數(shù)，首先要讓學(xué)生了解的就是兩個變量，自變量和因變量。這兩個變量的含義并不難理解，只要學(xué)生通過閱讀教材上的導(dǎo)入材料就可以大致明白自變量和因變量的含義。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生繼續(xù)根據(jù)教材內(nèi)容的想一想部分進(jìn)入下一階段的學(xué)習(xí)。知道了自變量和因變量之后，下一步就要進(jìn)行二次函數(shù)的初步學(xué)習(xí)，那就是先根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出相應(yīng)的表達(dá)式。通過這樣的不斷猜想推理，最終再總結(jié)出二次函數(shù)的具體概念。最后再要求學(xué)生舉出一個生活中的有關(guān)二次函數(shù)的例子，如果學(xué)生能夠做到舉一反三，那么就可以證明學(xué)生這部分的知識已經(jīng)掌握，能夠進(jìn)行一定程度上的演繹推理和合情推理。

在學(xué)習(xí)完二次函數(shù)的概念后，自然就要更深一步地學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)。這一部分的學(xué)習(xí)對演繹推理和合情推理的應(yīng)用會更多。例如在二次函數(shù)y=x2中，y與x的變化而變化的規(guī)律是什么？如何能夠更直觀地了解它的性質(zhì)呢？這就需要借助它們的圖像了。首先，教師可以讓他們對x進(jìn)行賦值，然后計算出y的值，根據(jù)計算出的數(shù)值可以讓學(xué)生猜測推理一下整函數(shù)的圖像是一種怎樣的形式，然后讓學(xué)生再根據(jù)算出的數(shù)值畫出二次函數(shù)的圖像，驗(yàn)證一下自己的推理是否是正確的。畫出圖像之后，教師可以對學(xué)生進(jìn)行提問，是否能描述一下該圖像的形狀呢？該圖像和x軸有交點(diǎn)嗎？如果有，交點(diǎn)坐標(biāo)是什么呢？借助這些問題來鞏固學(xué)生對該部分知識的理解，加深學(xué)生對二次函數(shù)圖像的印象。后面的學(xué)習(xí)亦是如此，可以借助畫出的圖像進(jìn)行演繹推理，比如當(dāng)xlt;0時是怎樣的，當(dāng)xgt;0時是怎樣的？當(dāng)x取到什么值時可以，y的值最小等這些問題。了解了最基礎(chǔ)的二次函數(shù)的基本性質(zhì)，學(xué)生就可以根據(jù)y=x2的基本性質(zhì)去推理學(xué)習(xí)更高難度的二次函數(shù)，并將其應(yīng)用在日常的生活學(xué)習(xí)過程中。

從以上實(shí)例中可以看出，合情推理和演繹推理在實(shí)際的學(xué)習(xí)過程中是無法分開的，也是沒有具體界限的。所以說，在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中要學(xué)會將兩種推理方式進(jìn)行結(jié)合，這不僅僅是兩種推理方式自身的特點(diǎn)決定的，也是新課程標(biāo)準(zhǔn)改革的要求，有助于當(dāng)下學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和提升。

四、如何提升初中生的合理推理和演繹推理的能力

（一）設(shè)置教學(xué)情境，為學(xué)生創(chuàng)造推理?xiàng)l件

所謂合情推理，它一定不會是毫無根據(jù)的胡思亂想，它本身就是建立在一定的數(shù)學(xué)事實(shí)的基礎(chǔ)之上的。設(shè)計教學(xué)情境本身就是教學(xué)過程中，教師為了吸引學(xué)生興趣，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)難度而采取的一種非常有效且受學(xué)生喜愛的教學(xué)方式。為了讓學(xué)生能夠進(jìn)行推理，教師可以借助教材內(nèi)容或者其他的一些情境等為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個與當(dāng)下所學(xué)內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)情境，通過設(shè)置一定的疑問，引導(dǎo)學(xué)生自覺地進(jìn)行觀察和思考。數(shù)學(xué)這門學(xué)科本身就是需要進(jìn)行觀察思考才能深入的學(xué)科。觀察本身就是學(xué)生了解數(shù)學(xué)世界的一個窗口。學(xué)生在觀察的過程中，是需要調(diào)動多個感官參與其中的，在原有的知識基礎(chǔ)上產(chǎn)生各種各樣的想象。通過觀察之后進(jìn)行聯(lián)想，可以幫助學(xué)生減少學(xué)習(xí)過程中的盲目性，讓學(xué)習(xí)變得更加高效，更加有針對性。學(xué)生的觀察能力對其自身發(fā)展是十分重要的，無論是數(shù)學(xué)學(xué)科抑或是其他學(xué)科的學(xué)習(xí)。因此，教師要想提高學(xué)生演繹推理和合情推理的能力，就要多給學(xué)生創(chuàng)造觀察的機(jī)會。借助教學(xué)情境的烘托作用，引導(dǎo)學(xué)生帶著因?yàn)檫M(jìn)行觀察推理，養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，從而提高學(xué)生合情推理的能力。例如通過y=x2的圖像觀察，學(xué)生大致可以知道y=2x2，y=3x2，y=4x2這幾個二次函數(shù)的圖像大致是什么形狀。

（二）借助實(shí)驗(yàn)，發(fā)散學(xué)生思維

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，很多定理的最終形成都是通過無數(shù)次的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證才確定的。在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，能夠良好地借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)也是初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該掌握的教學(xué)本領(lǐng)之一。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一個探索未知的過程，它可以激發(fā)學(xué)生的求知欲，吸引學(xué)生的興趣和注意力。這是一種比較“活躍”的學(xué)習(xí)方式，也是有利于提高教學(xué)效率的一種教學(xué)方式。其實(shí)，數(shù)學(xué)的定理應(yīng)用對學(xué)生來說并不算困難，難點(diǎn)在于學(xué)生對定理公式的理解，學(xué)生本身并不知道這些公式是怎么演變出來的。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)恰好可以承擔(dān)這部分的內(nèi)容，通過一步步的實(shí)驗(yàn)過程，將公式定理的形成過程展現(xiàn)在學(xué)生的面前，讓學(xué)生真正理解公式的每一步所代表的具體含義。從這點(diǎn)上來看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對學(xué)生的推理能力以及數(shù)學(xué)思維的提升有著不可替代的作用。

（三）設(shè)計教學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想

有了疑問，學(xué)生才能有進(jìn)行推理的基礎(chǔ)和動力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的猜想就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中對疑難問題的合情推理，這也是進(jìn)行數(shù)學(xué)證明的一個前提。只有有了數(shù)學(xué)問題的存在，才能讓學(xué)生的內(nèi)心有解決問題的興趣，從而帶動學(xué)生的創(chuàng)新思維，在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)更多的問題、解決問題。數(shù)學(xué)的猜想過程是站在已有的知識儲量的基礎(chǔ)之上，對未知領(lǐng)域知識的一種判斷，如果這個判斷能夠繼續(xù)被證明是正確的話，那么它就會成為我們所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)定理。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中接觸到的數(shù)學(xué)理論，有很多一開始都是從大膽猜想開始的，可以說沒有猜想，就不會有現(xiàn)實(shí)的發(fā)現(xiàn)。初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)過程中碰到的大多數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)理論等都是經(jīng)過這樣的過程才形成的。經(jīng)過這樣的猜想，不僅僅可以幫助學(xué)生拓展數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生在遇到問題時能夠從更多的角度進(jìn)行思考，想到原來想不到的問題，也可以幫助學(xué)生更加深刻且牢固地掌握需要掌握的數(shù)學(xué)知識，對學(xué)生的記憶能力提升也是非常有幫助的。教師在設(shè)計問題時要注意問題的深度，盡量避免給學(xué)生設(shè)計一些簡單的題目。題目要有一定的思考性，比如可以設(shè)計有兩種解決方法的題目、具有迷惑性、學(xué)生容易出錯的題目。這樣學(xué)生在思考問題、得出答案之后才會更加有成就感，這對數(shù)學(xué)教學(xué)課堂的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效率也有很大的幫助。

合情推理與演繹推理在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是至關(guān)重要的。提升學(xué)生這兩種的推理能力可以幫助學(xué)生更深度地開發(fā)數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的思考能力和創(chuàng)新能力。對教師來說，這兩種推理能力在教學(xué)課堂中的應(yīng)用，可以讓數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)變得更加順利，學(xué)習(xí)過程更加輕松，學(xué)生的注意力會更加的集中。初中數(shù)學(xué)教師可以通過設(shè)置教學(xué)情境、借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、設(shè)計數(shù)學(xué)問題等三個角度來提升學(xué)生的合力推理和演繹推理的能力，進(jìn)一步幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)能力。

參考文獻(xiàn)：

[1] 史兆芳. 核心素養(yǎng)下九年級學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力水平現(xiàn)狀調(diào)查研究[D]. 石家莊：河北師范大學(xué)，2021.

[2] 李夢. 淺談合情推理在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 天天愛科學(xué)（教育前沿），2020（07）：84.

[3] 王曉慶. 初中生數(shù)學(xué)合情推理與演繹推理能力的調(diào)查研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱師范大學(xué)，2019.

（責(zé)任編輯：秦" 雷）