概率論與數理統計的線上線下混合式教學模式探討和實踐
——以蘇州大學應用技術學院為例

孫唯唯

（蘇州大學應用技術學院 江蘇 蘇州 215325）

1 教改的背景與意義

以蘇州大學應用技術學院為例，概率論與數理統計是一門通識課程，面向商學院和工學院所有專業，選用同一本教材，并采用相同的教學大綱、教學進度表和考核方式。課程一般開設在大學一年級，工科專業是在大學二年級開設。

1.1 不同專業大類的課程教學成績差距較大

通過近幾年的教學成績分析，發現商科和工科在“概率論與數理統計”的學習效果上的差距越來越大[1]。從學院教務處2018―2021 該課程的考試成績數據分析（剔除對口單招和專升本專業），近四年工學院學生的平均及格率比商學院學生高出近21.3%。

通過課后章節習題的練習情況分析，從第二章第三節《連續型隨機變量》開始，商科學生的整體情況較工科學生的差距開始凸顯。并且在概率論后續章節中，但凡涉及連續型隨機變量的知識章節，比如第二章第四節中的《一維連續性隨機變量的函數的分布》、第三章《多維隨機變量中有關多維連續性隨機變量》的練習中，兩個專業學生的差距逐漸增大。

雖然一門課程的學習效果不能僅從考試成績或習題練習情況來唯一判定，但是上述四年的考試成績數據從另一個側面反映了一個不可忽略的事實：商科和工科學生在“概率論與數理統計”的整體學習效果上有較大差距。

1.2 不同專業大類在教學過程中學習興趣差別較大

雖然老師在教學設計中，根據專業特點的不同選取了具有針對性的教學案例，但是不同專業大類學生的整體學習興趣在第二章《連續性隨機變量》的教學活動后差距較明顯。主要體現在課后作業是否能及時完成、課后布置的預習任務是否完成。

2 教學反思和教學研究

2.1 “概率論與數理統計”課程的特點分析

“概率論與數理統計”是一門課程，卻又是兩門學科的結合體。概率論是數理統計的基礎，數理統計則是概率論的應用。教學內容安排是先完成概率論部分的學習，再進行數理統計部分的學習。所以如果學生在概率論階段的學習效果不扎實，就會嚴重影響數理統計部分中概率論原理的應用。

概率論的學習雖然是以研究隨機現象為主，有其公理化體系，但其發展和延伸離不開高等數學領域中的微積分工具，在具體計算和處理方法上仍然以微積分工具為主。特別體現在連續型隨機變量的概率密度函數，這是微積分思想的體現和應用，也是學生們學習的重難點，更是不同專業學生學習效果的一個分水嶺。

2.2 “概率論與數理統計”課程所需的數學預備知識

“概率論與數理統計”雖然與“高等數學”是兩門課，但是要能正確理解概率論中的連續性隨機變量的概念，學生必須深刻理解高等數學中的微積分思想并能靈活應用。

例如，在學習第二章《連續型隨機變量的概率密度函數和分布函數》之前，要求學生對定積分的概念、數學計算方法（牛頓萊布尼茨公式）、幾何計算方法（不規則圖形的面積）、變限積分求導等知識非常熟悉。如果學生只會定積分的簡單計算，對定積分的概念和幾何意義不熟悉，則無法深刻理解連續型隨機變量的概率密度函數和分布函數的關系。再例如，在計算連續型隨機變量的期望時，直接引用了高等數學里的無窮限積分。這要求學生靈活調用微積分的知識來解決概率計算問題，從學生的角度而言這是一個不小的難題。

2.3 工學院和商學院的高等數學基礎差異

在學習“概率論與數理統計”之前，商學院學生先修了“高等數學”課程。此課程大綱僅要求學生了解定積分的概念、了解定積分的幾何意義，了解定積分的簡單應用。在二重積分中只要求會簡單計算，并不要求掌握二重積分的概念和應用。

工學院學生先修了“高等數學（一）（上）”“高等數學（一）（下）”兩門課程。“高等數學（一）（上）”的大綱要求學生理解并掌握定積分的概念、幾何意義，熟練運用定積分的元素法來解決相關幾何問題。“高等數學（一）（下）”從二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分等多維度多角度地延伸和拓展“高等數學（一）（上）”中的微積分思想、應用和計算。

從教學大綱的對比分析可知，工學院學生的微積分基礎從整體來講較商學院學生扎實，不僅體現在微積分計算，更體現在對積分思想的理解和應用。所以在概率論中涉及微積分思想和計算的相關章節時，工學院學生較商學院學生學習效果的差距就體現出來了[2]。

3 教學改革探討和實踐

3.1 教學改革措施

針對上述情況，采取了實現教學內容、方法和手段的改革，將“線上線下”教學模式和精品課程資源結合起來。教學團隊主持的校級教改項目“‘概率論與數理統計’課程線上線下混合式教學探討和實踐”，依托學習通教學平臺，完成了線上視頻制作、練習題錄入等工作，為網絡資源建設做好充分準備[3-4]。

3.1.1 線上資源建設

本課程總學時為48 學時，根據教學大綱將內容分成50 個知識單元，并分別錄制了視頻。在錄制線上視頻時，采用雙屏錄制，既有課件PPT 的展示，又有實時的手寫板書，這樣更方便學生在觀看視頻時清楚理解計算步驟。

①每個章節都設置了“本章要點、典型例題及自測題”，讓學生從整體上把握整個章節的知識脈絡，并進行習題訓練。線上作業題設置緊貼教學大綱中的知識點，但有難度區分，可供不同程度的學生進行選擇性練習。

②每個章節還設置了“課程知識案例”，比如第一章《隨機事件與概率》的應用案例“彩票問題-七樂彩”，這是與現實生活相關度較大，比較能夠吸引學生的問題。雖然學生的直觀感覺是中獎概率較低，但對“有多低”的定量表述是沒有概念的。在應用案例中，運用學到的概率論知識分析得到中獎概率的準確數值，用數學的方法來再次驗證日常經驗，讓學生體會到所學知識在現實生活中的用處，激發學生的學習興趣。

又比如第四章《大數定律與中心極限定理》，在線下課程中由于課時有限，教學內容只能覆蓋理論知識，同學們在學習后難免覺得枯燥無聊。線上課程提供的應用案例“保險公司的利潤問題”，可以很好地體現此理論知識在實際生活中的應用。案例提出的問題也是學生比較感興趣的：保險已經深入我們的日常生活，隨處可見保險推銷，保險公司的利潤究竟是否可觀？在案例中，通過中心極限定理計算出保險公司幾乎不會虧本，在案例中的盈利概率為71.9%。

3.1.2 混合式教學實施

第一，混合式教學實施的背景。

比如第二章第三節《一維連續性隨機變量的概念》是建立在定積分概念的幾何背景上的，其概率密度函數也是用微積分的符號來定義的。對于工科學生，微積分基礎整體相對扎實，對于定積分思想的理解和應用不論從廣度還是深度都比商科學生有優勢，所以教學內容的安排可以從第二節《離散型隨機變量》直接過渡到第三節《連續性隨機變量》。但商科的學生由于微積分基礎薄弱，面對相同的教學進度則出現了嚴重的學習困難，所以這樣的教學安排對于商學院的學生很不合適。但由于課時是有限的，不可能單獨拆分出額外的課時為商科學生進行定積分復習。

第二，混合式教學實施的過程。

以第二章一維隨機變量為例。針對商科學生，在完成《一維離散型隨機變量》的學習后，要求學生課后完成線上教學平臺的“定積分復習”模塊。

復習模塊共有5 個視頻，分別是模塊1 定積分的幾何概念、模塊2 牛頓萊布尼茨公式、模塊3 定積分的計算、模塊4 無窮限積分的概念、模塊5 無窮限積分的計算。這5 個模塊將一維連續性隨機變量小節中所有與定積分相關的知識點都單列出來進行強化復習，商科學生可以利用較短的時間快速且有針對性地復習定積分相關的知識點。對于基礎較好的工科學生，可以作為一個簡單的知識回顧。

在與計算能力相關的模塊中，還精心設計了將概率論等知識融合在內的習題訓練。其中模塊1 定積分的幾何概念中，配套基礎練習1“已知F x 求其斜率函數f x ，并畫圖”；模塊2 定積分的計算中，配套基礎練習2“積分計算(湊微分)”、基礎練習3“積分計算(定積分的性質)”；模塊5 無窮限積分的計算中，配套基礎練習4“積分計算(無窮限積分)”、基礎練習5“已知F x 的斜率函數f x ，求F x”。這些題型是特別針對概率論中的知識點進行設計的，學生在完成這些習題的同時既能復習定積分的知識，又可以提前熟悉一些概率論特有的表達形式。

線上學習平臺開通了討論區不定期回答學生的疑問。針對完成情況較差的模塊，會進行線上直播講解例題。所有這些教學活動，都是在線上完成，每個同學都可以根據自己的情況來靈活調節學習的側重點和學習時間。根據線上視頻的學習和習題的訓練效果，評估學生定積分知識復習的情況，當線上學習效果評估過關后，在按照教學進度表在線下課程講授《一維連續型隨機變量》。

這樣線上線下混合式教學很好地彌補了因為不同專業定積分基礎程度不同而帶來的學習效果的差異性[5]。

3.1.3 考評模式創新

增加線上學習的過程考核，作業點評等環節，以線下課程的筆試考核及平時作業評測為輔的方式進行，全方面考核學生的綜合素質。

3.2 教學效果分析

在重修班的試點教學中，在學習通平臺線上開課2 輪次，累計學習人數近500 人。采用線上線下混合式教學方式，取得了非常好的教學效果。從章節小結測試的情況分析，第二章的章節測驗中商科和工科的均分差距在逐漸縮小。從考試成績的統計數據上看，重修班中商科學生的及格率較之前明顯上升，學生學習的積極性也比較高。

4 綜述

教學團隊從概率論與數理統計課程的教學現狀出發，進行教學改革。從線上視頻資源、作業題等方面進行了全面的建設，利用上述教學資源，采用線上線下混合式教學方式，對比重修班的成績，發現混合式教學方式對不同專業大類的學習效果差距起到了很好的彌補作用。

在教學過程中，對教學對象的研究始終是教師進行教學活動最重要的前提，特別是應用型本科院校中的通識類數學課程[6-7]。在教學大綱、教學進度、教學內容、考核內容均一致的情況下，任課教師更要根據實際課程教學情況來研究不同專業大類的教學對象，分析教學效果差異的原因，進行教學反思，調整教學方向和方法，更新教學手段，提高通識類數學課程的教學質量。