豐富問(wèn)題情境探尋等量關(guān)系
——《實(shí)際問(wèn)題與方程例1》素養(yǎng)進(jìn)階習(xí)題展評(píng)與教學(xué)建議

文|葉 青 崔丹青 宋煜陽(yáng)

一、習(xí)題展評(píng)

●習(xí)題一

1.習(xí)題內(nèi)容。

已知九宮格中每行、每列以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字和都相等，求出x 的值。

（1）列出的方程是________。

（2）求出x 的值為（ ）。

（3）請(qǐng)你把這一結(jié)果當(dāng)作已知數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。

2.能力指向。

等量關(guān)系的尋找。通過(guò)數(shù)形結(jié)合理解題意，建立等量關(guān)系列出方程，培養(yǎng)學(xué)生推理意識(shí)和驗(yàn)算反思意識(shí)。

3.學(xué)情分析。

對(duì)城區(qū)小學(xué)30 名學(xué)生進(jìn)行了后測(cè)。第（1）小題除了個(gè)別學(xué)生看不懂題意外，絕大多數(shù)學(xué)生能結(jié)合圖文信息找出等量關(guān)系，列出方程。方程主要集中在①2.4＋3.4＋2.0＝3.4＋x＋1.8②3.4＋x＋1.8＝7.8③x＋1.8＝2.4＋2.0 這三種，其中方程③在方程①的基礎(chǔ)上運(yùn)用等式的性質(zhì)進(jìn)行推理：觀察發(fā)現(xiàn)共用數(shù)字3.4 可以去除，只要另外兩個(gè)數(shù)相加的和相等即可，這樣更加簡(jiǎn)便。第（2）（3）小題，少部分學(xué)生方程正確但求解錯(cuò)誤，只是把答案抄入，沒有進(jìn)行計(jì)算檢驗(yàn)，屬于無(wú)效驗(yàn)算。

●習(xí)題二

1.習(xí)題內(nèi)容。

（1）上述四幅圖中，能用方程x＋30＝180 來(lái)解答的有（ ）（填序號(hào)）。

（2）明明說(shuō)：圖②應(yīng)該用方程x－30＝180 來(lái)解答，你同意他的想法嗎？為什么？

2.能力指向。

對(duì)不同數(shù)量關(guān)系的分析。將方程、角的度量、數(shù)軸以及生活實(shí)際相結(jié)合，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析數(shù)量關(guān)系的能力，初步形成模型思想。

3.學(xué)情分析。

第（1）小題錯(cuò)誤主要集中在圖①和圖④的判斷上。結(jié)合訪談，沒有選圖①的學(xué)生分兩種：一是看不懂題意；二是聚焦于整個(gè)周角，認(rèn)為方程應(yīng)該是2x＋30×2＝360。沒有選圖④的學(xué)生題意理解有誤，認(rèn)為x 表示的是“一段數(shù)是x”而不是一個(gè)點(diǎn)上的數(shù)，方程應(yīng)該為3x＝180。

第（2）小題所有參測(cè)學(xué)生都選擇同意，但在理由表達(dá)上有差異。大部分學(xué)生能從等量關(guān)系“原價(jià)－優(yōu)惠的金額＝現(xiàn)價(jià)”說(shuō)明原因。少部分學(xué)生出現(xiàn)如下情況：①認(rèn)為優(yōu)惠券是減少的錢，所以現(xiàn)價(jià)肯定比原價(jià)少，求少的用減法；②只提到了求現(xiàn)價(jià)用減法。

綜合以上分析，當(dāng)練習(xí)材料把數(shù)與代數(shù)、空間與圖形的有關(guān)元素進(jìn)行融合，學(xué)生對(duì)等量關(guān)系的提取產(chǎn)生了一定困難。

●習(xí)題三

1.習(xí)題內(nèi)容。

共享單車的廣泛使用正不斷改變?nèi)藗兊某鲂蟹绞健＝漳呈懈鶕?jù)本市情況調(diào)整了共享電單車的計(jì)價(jià)方式，如下表。

請(qǐng)你根據(jù)兩位同學(xué)的對(duì)話計(jì)算a 和b 的值。

2.能力指向。

真實(shí)情境的實(shí)踐應(yīng)用。考查學(xué)生解決生活實(shí)際問(wèn)題的能力。能在比較中感受方程與算術(shù)思維的區(qū)別，體會(huì)順向思維的優(yōu)勢(shì)；同時(shí)激發(fā)應(yīng)用方程解決問(wèn)題的興趣，提高應(yīng)用意識(shí)。

3.學(xué)情分析。

根據(jù)學(xué)生解決問(wèn)題的具體表現(xiàn)，劃分為五個(gè)水平層級(jí)，如表1。

本題綜合性較強(qiáng)，涉及ax＝b和ax＋b＝c 兩種方程類型。題目信息量比較大，又與分段計(jì)費(fèi)解決問(wèn)題相結(jié)合，部分學(xué)生題目理解存在困難，出現(xiàn)算術(shù)方法與方程方法不能切換的現(xiàn)象。

二、教學(xué)建議

1.創(chuàng)設(shè)多樣情境，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。

教學(xué)中，一方面要用好教材資源，將數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐等領(lǐng)域知識(shí)與方程解決問(wèn)題有機(jī)整合，相互聯(lián)系，圖文并茂；另一方面可以提供一些真實(shí)、富有意義的現(xiàn)實(shí)題材，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題→尋找等量關(guān)系→列方程并求解”的過(guò)程，感悟方程思想。如習(xí)題二通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式，將方程與角的度量、數(shù)軸以及生活實(shí)際相結(jié)合；習(xí)題三中呈現(xiàn)的共享電單車的現(xiàn)實(shí)情境，既實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的融合，豐富了呈現(xiàn)的形式，也有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。

水平層級(jí) 具體表現(xiàn)水平0 毫無(wú)解題思路，甚至空著沒寫。水平1不能很好地理解題意，數(shù)量關(guān)系不清，無(wú)法求出a、b 的值。（如：每分鐘的價(jià)錢、時(shí)間、總價(jià)之間的關(guān)系不清或未進(jìn)行分段計(jì)費(fèi)。）images/BZ_41_844_1924_1545_2130.png水平2能用方程求出a 的值，但不能求出b 的值，無(wú)法與分段計(jì)費(fèi)的知識(shí)相關(guān)聯(lián)。images/BZ_41_843_2165_1545_2488.png水平3方程法有一定困難（特別是求b 的值），但能用算術(shù)法解決問(wèn)題或者未知數(shù)a、b 未參與運(yùn)算。images/BZ_41_830_2504_1541_2826.png能聯(lián)系分段計(jì)費(fèi)知識(shí)，找出等量關(guān)系，列出方程并求解。水平4images/BZ_41_532_2910_1350_3141.png

2.梳理分析策略，尋找等量關(guān)系。

尋找等量關(guān)系是列方程解決問(wèn)題的關(guān)鍵，應(yīng)對(duì)分析等量關(guān)系的策略作必要指導(dǎo)。比如，根據(jù)常見的數(shù)量關(guān)系、公式、性質(zhì)找等量關(guān)系、根據(jù)題目中描述數(shù)量關(guān)系的句子找等量關(guān)系等，在此過(guò)程中積累列方程解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。如根據(jù)“九宮格中每行、每列以及兩條對(duì)角線上的數(shù)字和都相等”這一關(guān)鍵句、“平角是180°”這一性質(zhì)、“原價(jià)－優(yōu)惠的金額＝現(xiàn)價(jià)”這一數(shù)量關(guān)系尋找等量關(guān)系；又如，共享電單車情境中的分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題，抓牢數(shù)量關(guān)系“每分鐘的價(jià)錢×?xí)r間＝總價(jià)”的同時(shí)，明確6.1 元由8 分鐘的價(jià)格和超出的3分鐘的價(jià)格組成。這些策略的梳理有利于提高學(xué)生尋找等量關(guān)系列出方程的能力。