運用開普勒定律解答2021全國乙卷理綜第21題的思考

胡小波

(江蘇省泰州市姜堰區婁莊中學 225506)

題目(2021全國乙卷理綜第21題)科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖1所示.科學家認為S2的運動軌跡是半長軸為1000AU(太陽到地球的距離為1AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質量黑洞.這項研究工作獲得了2020年若貝爾物理學獎.若認為S2所受的作用力主要為該大質量黑洞的引力，設太陽的質量為M，可以推測出該黑洞質量約為( ).

圖1

A.4×104M B.4×106M

C.4×108M D.4×1010M

1 試題分析

2 解題方法

將地球繞太陽的運動近似看作勻速圓周運動，設地球的質量、公轉周期、日地距離分別為m、T、r，太陽的質量為M，由萬有引力提供向心力得：

①

由①式可知K值與中心天體太陽質量有關，若將此K值遷移至S1星繞黑洞的橢圓運動則有：

②

式②中r′、T′、M′分別表示S1星繞黑洞作橢圓運動的半長軸、公轉周期及黑洞的質量.將(2)與(1)式相比整理可得：

③

將r′=1000AU、r=1AU、T′=16年、T=1年

代入③式得：M′=4×106M.

正確答案選B.

3 解法思考——K值的遷移拓展是否正確

3.1 引力勢能表達式的推導

以行星繞太陽運動的模型為例，其軌道為橢圓，因太陽對行星的引力是保守力，其做功與路徑無關，故可以直接將沿橢圓運動化為沿直線運動推導引力勢能表達式.如圖2所示設太陽的質量為M，行星的質量為m，太陽與行星間的距離為r，取無窮遠為零勢能點，當行星自距離日心r1的A處移至與日心距離r2的B處時，引力做功為：

圖2

④

⑤

因規定無窮遠處為零勢能位置，由功能關系得W=Ep1-Ep2=Ep1-0=Ep1

⑥

3.2 速度方向的定量表達

如圖3所示，設太陽位于橢圓右焦點F，橢圓長半軸、短半軸及焦距分別為a、b、c,行星運動至橢圓上的A點時，與太陽中心距離為r，其速度方向與矢徑r成α角，根據橢圓性質及A與兩焦點形成的三角形由余弦定理易得

圖3

(2c)2=r2+(2a-r)2-2r(2a-r)cos2φ,變形得：

⑦

又由二倍角公式得：

cos2φ=2cos2φ-1

⑧

由⑦⑧得：

⑨

由橢圓性質得：

a2-c2=b2

⑩

將⑩式代入⑨式有：

又由角的關系得：

cosφ=sinβ=sin(π-α)=sinα

3.3 開普勒第三定律K值的推導

在圖3中，設太陽與行星的質量分別為M、m，某時刻沿橢圓軌道運動至A處時速度為v，與矢徑方向夾角為，將行星繞太陽的運動看成是孤立的系統，由機械能守恒得：

因太陽對行星的引力方向與矢徑方向平行，故角動量守恒有mvrsinα=L

由開普勒第二定律不難得出：