對數(shù)均值不等式及其應用

黃瀚元

(廣西壯族自治區(qū)柳州高級中學 545006)

在近些年的高考與模擬考試卷中，以上述不等式為背景的試題屢見不鮮，如果我們能掌握并熟練運用上述不等式，那么我們的解題思路就可以清晰自然，解題過程就可以簡潔通暢，為此，我們有必要對此不等式做深入研究.

1 對數(shù)均值不等式的證明

下面我們來證明這個不等式.

不失一般性，不妨設(shè)a>b.

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞減.

故f(x)

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增.

故g(x)>g(1)=0. 證畢.

2 對數(shù)均值不等式的推論

結(jié)合上述證明過程，我們可以得到兩個重要的不等式鏈：

用圖象表示如圖1、圖2所示：

圖1 圖2

如果我們把對數(shù)均值不等式中的a,b分別用ea,eb替換，則可得到：

我們把它叫做指數(shù)均值不等式.

3 對數(shù)均值不等式的應用

證明由對數(shù)基本不等式可知

把上式中的a,b分別用x+1,x替換，得

證明由對數(shù)基本不等式可知

把上式中的a,b分別用n+1,n替換，得

證明由對數(shù)基本不等式可知

例4 方程lnx=ax有兩個不相等的實數(shù)解x1,x2，證明：x1+x2>2e.

由對數(shù)均值不等式可得

所以lnx1+lnx2>2?x1x2>e2.

例5 已知函數(shù)f(x)=x-aex有兩個不同的零點x1,x2，求證：x1+x2>2.

又因為x1,x2是f(x)的兩個極值點，

所以x1>0,x2>0，且x1+x2=a,x1x2=1.

又由對數(shù)均值不等式可知