用好“反客為主”方法 突破思維定式束縛

田加貴

(云南師范大學附屬中學 650106)

思維的靈活性是指隨機應變，觸類旁通，不局限于某一方面，不受消極定勢的束縛，它表現為多向思維和創造性思維.在中學數學學習中，思想方法紛繁多樣，其中“反客為主”方法就是其中一種不失時機、靈活思變的多向思維和創造性思維方式.一些數學問題中的各“量”或各“元”之間的關系是辯證統一的，如果根據需要，將它們的地位適當變換，即“反客為主”，也稱“反主為客”，常常使許多難題容易獲解.

1 對于常量與變量進行的“主”“客”變換

2 求解函數值域時進行的“主”“客”變換

圖1

3 求解不等式時進行的“主”“客”變換

解析將關于x的一元二次不等式整理成關于a的一元一次不等式(x-1)a+x2-3x+1>0.

令f(a)=(x-1)a+x2-3x+1，

①當x=1時,f(a)=-1<0,不合題意.

4 求解函數中的參數時進行的“主”“客”變換

圖2

即y=t2-t-2(t≥0)與y=k有兩個不同的交點.

5 求函數的零點時進行的“主”“客”變換

例5設函數f(x)=ax4+x3+(5-8a)x2+6x-9a,其中a∈R,x∈R,無論a取何值時,都有f(k)=0恒成立,求k的值.

解析因為無論a取何值時,都有f(k)=0.即f(k)=ak4+k3+(5-8a)k2+6k-9a=0恒成立.

即(k4-8k2-9)a+k3+5k2+6k=0.

即(k+3)(k-3)(k2+1)a+k(k+2)(k+3)=0.

由于無論a取何值時,都有f(k)=0，

解得k=-3.

6 對于函數的定義域或值域中有參變數時的“主”“客”變換

即-2≤f(x)≤1.

由于m-3≤f(x)≤m+3，

即fmax(x)-3≤m≤fmin(x)+3.

故1-3≤m≤-2+3.即-2≤m≤1.

故m∈[-2,1].

7 求直(曲)線族恒過定點時進行的“主”“客”變換

例7已知k∈R，若直線(2k+1)x+(k+2)y+2-2k=0恒過定點P，求點P的坐標.

解析將方程(2k+1)x+(k+2)y+2-2k=0化為(2x+y-2)k+x+2y+2=0.

因為無論k取何值時,點(2,-2)的坐標均滿足方程(2x+y-2)k+x+2y+2=0，所以方程(2k+1)x+(k+2)y+2-2k=0表示過定點(2,-2)的直線方程.即點P的坐標為(2,-2).

8 對于直(曲)線方程中的系數與變量間的“主”“客”變換

例8已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點為P(2,3)，求過兩點Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直線方程.

解析由于點P(2,3)為兩直線的交點，所以2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0.

對于直線2x+3y+1=0，顯然兩點Q1(a1,b1)，Q2(a2,b2)在該直線上，而兩點確定一條直線，故過兩點Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直線方程為2x+3y+1=0.

9 求曲線方程時進行的“主”“客”變換

例9 已知方程4kx-4y-(4-k2)=0(k∈R)代表無數條直線，其中有且僅有1條過點A，則點A的集合記為M，設集合N={(x,y)|y=x-3}，求M∩N.

解析將原直線方程整理成關于k的一元二次方程k2+4xk-4(y+1)=0.由于有且僅有1條直線過點A，則關于k的方程k2+4xk-4(y+1)=0有且只有一解.故Δ=16x2+16(y+1)=0，得y=-x2-1.

此即為集合M的圖象函數，它是一條拋物線.

解得點E,F的坐標為(-2,-5)，(1,-2).

所以M∩N={(-2,-5),(1,-2)}.

10 對于存在多個參數需要分清主次的“主”“客”變換

例10 若4kx2-8tkx-k2-2k-1≤0(k>0)對任意的t∈[-1,1]恒成立，求實數x的取值范圍.

對于以上各種類型的問題，有些我們也可以不進行“主”“客”元變換，但也許解決起來可能麻煩一點，有些還真是不得不進行“主”“客”元變換，否則是無法解決的，“反客為主”自然也是“反主為客”，“主”與“客”之間本身也是相對的，只是對于某個元素來講，它在題中的地位可能更突出一些，更應當得到重點關注，或者是說，各元在我們解答者的眼中，由于思維方法和觀察角度的不同，“主”元與“客”元的地位突出程度也就不同，對于問題解答過程的影響程度當然也不同.這種方法既然具有多向思維和創造性思維的特質，所以有時使人覺得心曠神怡，耳目一新，但是要掌握好這種“主”“客”變換的方法有一定難度，我們只有在日常的學習中，多積累，多思考，才能更好地加以應用.