一道熱學題的思考

孫 翱

(遼寧師范大學附屬中學 116021)

理想氣體壓強的微觀解釋和熱力學第一定律一直是高中物理中的難點，下面就以一道題為例分析如何利用定量分析的方法解決壓強微觀解釋中的難點問題并且利用P-V圖像來求解該題的做功問題.

題目一定質量的理想氣體經歷如圖1所示的一系列過程，AB、CD、DA這四段過程在P-T圖象中都是直線，其中CA的延長線通過坐標原點O，下列說法正確的是( ).

圖1

A.A→B的過程中，氣體分子每次碰撞器壁的平均沖力增大

B.B→C的過程中，氣體分子在單位時間內撞擊單位面積器壁的分子數減少

C.C→D過程與A→B過程相比較，兩過程中氣體與外界交換的熱量相同

D.D→A過程與B→C過程相比較，兩過程中氣體與外界交換的熱量相同

首先分析A與B兩個選項，這兩個選項考察了理想氣體壓強的微觀解釋.

氣體壓強產生的微觀機理一直是高中物理教學中的重點和難點，學生很難抽象出氣體微觀物理模型.對一些基本概念諸如“單位時間內撞擊容器壁上單位面積的次數”、“氣體的粒子數密度”、“氣體單位面積上受到的平均作用力”等概念模糊不清，特別是當壓強不變時，研究溫度升高后單位時間內撞擊器壁單位面積上的氣體分子數時，學生會有疑問，因為一方面溫度升高，氣體分子的熱運動更劇烈，單位時間內撞擊器壁單位面積的分子數應該增多，另一方面壓強不變，溫度升高，體積增大，粒子數密度應該減小，單位時間內撞擊器壁單位面積的分子數應該減少，因此針對以上問題引導學生建立出物理模型，利用物理模型定量表示這些物理量就變得尤為重要.

我們所要描述的物理模型為理想氣體，除了在碰撞的一瞬間外，可以認為氣體分子之間的作用力忽略不計，且分子與器壁的碰撞是彈性碰撞.

將氣體分子看成是能夠與氣壁發生彈性碰撞的小球.設小球向左運動與氣壁發生彈性碰撞，設水平向右為正方向(如圖2)，每個氣體分子與器壁碰撞后的平均作用力為F0，利用動量定理

圖2

F0Δt=mv-(-mv)=2mv

(1)

設Δt內一共有ΔN個氣體分子與面積為ΔS的一側器壁發生碰撞，則這些氣體分子產生的總作用力為F

FΔt=2ΔNmv

(2)

設壓強為p

pΔSΔt=2ΔNmv

(3)

(4)

由(4)式壓強也可以描述成大量分子在單位時間內撞擊單位器壁上的平均總沖量，也可以描述成大量分子撞擊器壁單位面積的平均作用力.

由(4)式不難看出，若壓強保持不變，升高氣體溫度會使分子的平均動能增加，分子動量也會增加，分子單位時間撞擊器壁單位面積的次數就會減少.另一方面，分子的平均動能越大，分子與器壁碰撞得也就越頻繁，分子單位時間內撞擊器壁單位面積的次數應該增大，我們用粒子數密度與分子的平均速率來描述單位時間內碰撞在單位面積上的分子數.

圖3

(5)

(6)

(7)

(8)

由以上這些定量推導的公式可以很好得理解在溫度不變的條件下，分子的平均動能不變，體積越小，粒子數密度越大，單位時間內分子撞擊單位面積器壁的次數越多，氣體的壓強就越大；在體積不變的條件下，粒子數密度不變，溫度越高分子的平均動能越大，單位時間碰撞在單位面積器壁的分子數越多,壓強越大.

回到本題，由之前的分析可知，大量氣體分子撞擊器壁單位面積的平均作用力就是壓強，因此A選項因為壓強增大，平均沖力增大，B選項溫度升高、壓強不變，可以根據(4)式平均速率增大，單位時間內單位面積器壁上受到氣體分子的撞擊次數減少.

回顧2019年遼寧省理科綜合33題考察的也是這一知識點.

高考真題 如P-V圖4所示，1、2、3三個點代表某容器中一定量理想氣體的三種不同狀態，對應的溫度分別是T1、T2、T3. 用N1、N2、N3分別表示這三個狀態下氣體分子在單位時間內撞擊容器壁上單位面積的次數，則N1____N2，T1____T2，N2____N3. (填“大于”“小于”“等于”)

圖4

我們再來看開篇題目中的C和D選項.兩個選項考察的是外界與系統之間的熱量交換，我們需要借助于熱力學第一定律進行求解.首先是C選項.

C→D過程與A→B過程都為等溫變換，因此內能不變，想弄清C→D過程與A→B過程系統與外界交換的熱量多少就可以轉化成判斷C→D過程與A→B過程系統與外界做功的大小.P-T圖象不容易判斷做功的大小，我們轉而研究P-V圖象如圖5.

圖5

(9)

方法二由P-V圖像只需比較出C→D等溫線圖象與坐標軸圍成的面積與A→B等溫線圖象與坐標圍成的面積大小即可.B→C過程與D→A過程為等壓過程.

WBC=-pB(VC-VB)

=-(pCVC-pBVB)=NR(T1-T2)

WAD=-pD(VD-VA)

=-(pDVD-pAVA)=NR(T1-T2)

因此WBC=WAD

由圖6可得a面積與b面積相等，那么BA等溫線與橫軸圍成的面積就一定小于CD等溫線與橫軸圍成的面積.因此|WAB|<|WCD|，|QAB|<|QCD|.

圖6

最后我們再來分析原題中的D選項.

D→A過程與B→C過程相比較，D→A溫度降低ΔUDA<0，體積減小，外界對系統做功WDA>0，系統向外界傳熱QDA<0，ΔUDA=WDA+QDA.B→C是C→B的逆過程，C→B溫度降低ΔUCB=ΔUDA，體積減小，外界對系統做功WCB=WDA，系統向外界傳熱QCB=QDA，|QBC|=|QDA|，因此兩過程中氣體與外界交換的熱量相同.