架等時圓之橋 鋪滑行時間問題求解之路

王偉民

(安徽省太和縣宮集鎮中心學校 236652)

由豎直平面內圓周的最頂端(即該圓豎直直徑的上端點)，從靜止開始沿各個傾角不同光滑斜面自由下滑的物體，滑行到斜面與圓另一個交點所用的時間相等，都等于物體從圓周的最頂端開始作初速度為零的自由落體運動過程中，自由下落這個圓直徑高度所用的時間，該圓被稱之為等時圓.在求解與物體沿光滑斜面(或光滑細桿)自由下滑時間有關的問題時，通過添加輔助等時圓的方法進行求解，往往可以起到事半功倍的作用.

例1 如圖1所示，斜面OB與水平面OA的夾角為α，C是斜面上的一點，P是過C點豎直線上C上方的一點，PC=h，某光滑細桿PE過P點，其底端放在斜面上，一小環套在細桿上由P點靜止釋放，求小環沿光滑細桿滑落到斜面的最短時間？

圖1 圖2

我們先用解析法對該問題進行求解.

因為小環在光滑細桿上下滑過程中的加速度為gcosθ，所以，小環在光滑細桿上由P點靜止釋放，下滑到斜面上的E點所用時間的平方t2為：

將t2視為θ的函數并對θ進行求導可得：

再用增添輔助等時圓的方法對例題1給出的問題進行求解.

解法二如圖3所示，作過點P、圓心在豎直線PC上并且和OB相切的圓⊙I，設切點為H，顯然，滿足條件的圓不僅存在，而且是唯一的.圖3中，OB上除了H點之外的其余所有各點都在⊙I外，以圖3中的E點為其余各點的代表進行分析.由等時圓的性質可知，小環分別沿光滑細桿PE和PH由P點靜止釋放自由滑行時，在細桿PG段滑行的時間與在細桿PH段滑行的時間相等，所以，小環在細桿PH段滑行的時間一定小于它在細桿PE段滑行所用的時間，因此，在過P點傾角不同的各細桿中，小環唯有沿過切點H的細桿滑行所用的時間最短.

圖3

比較以上兩種不同的解法可以發現，運用解析法求解問題的答案時，解題過程冗長繁雜，解答過程的大部分內容是數學推理，顯得晦澀難懂，而運用增添輔助等時圓的方法，求解小環沿光滑細桿滑行的最短時間，物理味道十足，解題過程直觀易懂，簡單明了.

我們再看將上面例題1物理情景中的直斜面更改為曲面之后，能否再用類似的方法來進行求解.

例2 如圖4所示，半徑為25m的圓環圓心為O，放在水平地面上，圓環所在的平面豎直，P點是圓環平面內的一點，它到該圓豎直直徑和水平地面的距離分別為8m和34m，足夠長的光滑細桿一端固定在P點，并且可以在圓環所在的豎直平面內任意轉動，一小環套在細桿上由P點靜止釋放，求小環沿細桿滑到圓環上需要的最短時間？(取g=10m/s2)

圖4 圖5

分析如圖5所示，作過點P、圓心在過P點的豎直線PD上，并且與⊙O相內切的⊙I，設切點為F，PM是過點P的另外一條往右下方傾斜的任意線段(M點在⊙O的圓周上)，交⊙I于N，將PM和PF分別視為光滑細桿，由等時圓的性質可知，小環分別在兩個光滑細桿上的PN段和PF段滑行的時間相等，都等于小環從P開始作自由落體運動PG距離(即⊙I的直徑)所用的時間，所以，小環在兩細桿上由P分別滑行到⊙O的圓周所用的時間tPF和tPM相比，有tPF

解析因為相切兩圓的連心線過切點，所以O、I、F三點共線，設⊙I的半徑為r，易知PE=PD-ED=9m，所以IE=r-9(單位m，下同)，因為OI=25-r，所以，在Rt△OEI中根據勾股定理可以建立如下方程：

(r-9)2+82=(25-r)2，解得：r=15，

所以，小環沿細桿由P滑行至F所用的時間為：

實際上，對例題2給出的這個求解小環沿細桿滑行的最短時間問題，我們也可以仿照例題1的解法一，建立合適的平面直角坐標系之后，確定出⊙O的方程，進而利用解析法導出小環在不同傾角滑桿上由P點滑行到⊙O的圓周上時，所需時間與其他參數的函數關系式，再利用求導的方法確定問題的答案，但這樣解決問題的過程將會非常的麻煩，遠不如增添輔助等時圓的方法求解簡單.

例3 如圖7所示，半徑為104dm的圓環圓心為O，放在水平地面上，P點是豎直圓環平面內的一點，它到水平面和圓環豎直直徑的距離分別是288dm和120dm，在P點和⊙O圓周上多點之間拉很多根繃緊的光滑金屬絲，讓套在金屬絲上的小環在各金屬絲上由P點靜止釋放，試確定小環在各段金屬絲上滑行時間的取值范圍？(取g=10m/s2，結果可以保留根號)

圖6 圖7

分析作出過點P，圓心在過P的豎直線PD上，與⊙O分別內切和外切的兩圓⊙E和⊙F，如圖7所示，切點分別是G和J，由等時圓的性質可知，在P點與⊙O上各點相連的金屬絲中，小環在光滑金屬絲PG上滑行的時間最長，最長時間等于小環在空間內從P點靜止釋放，自由下落⊙E的直徑PM所用的時間；小環在光滑金屬絲PJ上滑行的時間最短，最短時間等于小環在空間內從P點靜止釋放，自由下落⊙F的直徑PN所用的時間.根據題目給出的已知條件，分別在Rt△OET和Rt△OQF中根據勾股定理列出兩個以⊙E和⊙F半徑為未知數的方程，可以確定⊙E和⊙F的半徑分別，進而可以確定問題的答案.

解析設⊙E和⊙F的半徑分別為R和r，在Rt△OET中:

PN=PD-QD=184dm，

所以OT=QE=R-184(單位dm，下同)，EO=R-104，

由勾股定理可得

(R-104)2=1202+(R-184)2，解得：R=234.

在Rt△OQF中：

FQ=184-r，FO=104+r，OQ=120，

由勾股定理可得

(r+104)2=1202+(184-r)2，解得r=65.

等時圓的性質是運動學板塊的一條重要規律，在解決物體于光滑斜面或滑桿上滑行時間等相關問題時，如果添加合適的等時圓，并以等時圓為橋梁，將有關物理量巧妙聯系，往往可以給問題的解決帶來很大的方便.