例析構造法在直線和圓中的應用

侯有岐

(陜西省漢中市四○五學校 723312)

“數形結合”是重要的數學思想方法之一,著名數學家華羅庚說:“數缺形時少直觀，形少數時難入微”,這就要求我們在使用圖象解題時,必須充分理解題意,畫出比較準確的圖象,注意圖象中元素間關系,不能主觀臆斷,導致圖形失真,從而得出錯誤答案,甚至無法求解.為此,本文例析怎樣根據題意按要求準確作圖,利用構造法在直線和圓的應用中快速解題.

1 構造“斜率”求最值(范圍)

圖1

2 構造“距離”求最值(范圍)

(2)已知實數x,y滿足5x+12y+60=0，求x2+y2的最小值.

(3)已知實數x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求y-x的最小值.

即問題轉化為在x軸上求一點P(x,0)與A(1,1),B(2,2)的距離之和的最小值.

圖2

(2)x2+y2的最小值為坐標原點到直線5x+12y+60=0距離的平方.

(3)設y-x=b，則y=x+b，當且僅當直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱截距b取最小值.

點評涉及與圓有關的最值問題，可借助圖形性質，利用數形結合求解，一般地：

(2)形如t=ax+by的最值問題，可轉化為動直線截距的最值問題．

(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題，可轉化為定點到動直線的最值問題，或圓心已定的動圓半徑的最值問題．

例3 某地兩鄰鎮在一直角坐標系下的坐標為A(1,2),B(4,0), 一條河所在的直線方程為l:x+2y-10=0, 若在河邊l上建一座供水站P,使它到A,B兩鎮的管道最省,問應建在什么地方?

分析利用平面幾何(兩點之間線段最短;三角形兩邊之和大于第三邊)及解析法確定點P的位置.

解析如圖3,過點A作直線l的對稱點A′,連接A′B交l于點P,則點P即為所求.這是因為:

圖3

若在點P′(異于點P),|AP′|+|P′B|=|A′P′|+|P′B|>|A′B|.

因此,只能在點P處取得最小值.

點評(1)凡是路程之和最近問題都要用關于直線對稱的點進行處理.通過圖形直觀、對比分析，可以較好地突破理解上的難點,達到化難為易,化繁為簡的目的.事實上：

當點A,B在直線l異側時，點P即為直線AB與直線l交點；當點A,B在直線l同側時，可通過某一點關于直線l對稱轉為異側解決.

(2)若在直線l上求一點Q，使||QA|-|QB||最大，可根據三角形兩邊之差小于第三邊，仿此解決，但此時：

當點A,B在直線l同側時，點Q為直線AB與直線l交點；當點A,B在直線l異側時，可通過某一點關于直線l對稱轉為同側解決.

3 構造“圓”求直線條數

例4 在坐標平面內,與點A(1,2)距離為1,且與點B(3,1)距離為2的直線共有( )條.

A.1 B.2 C.3 D.4

分析本題若直接求解,將無從下手,若將數的問題輔以形的意義, 就能利用圓的定義畫出分別以A(1,2),B(3,1)為圓心，以1,2為半徑的兩個圓,然后再根據兩圓的位置關系,把問題轉化為研究兩圓的公切線的條數.

圖4

解析作圓A(rA=1), 圓B(rB=2),

則符合題意的直線是圓A, 圓B的公切線.

因為兩圓圓心距

所以圓A與圓B相交,所以公切線有兩條.

所以符合題意的直線共有兩條,故選B.

點評概念是反映客觀事物本質屬性的思維形式,一般比較抽象,在理解上有一定困難,若通過正確作圖,借助幾何直觀真正把握概念的實質內涵,從而為解題開啟新的思路,提供新的途徑,達到化隱為顯的目的.

由以上四例可知,只有根據幾何意義正確構造圖形,借助幾何直觀,運用數形結合思想,才可以避免繁瑣推理和復雜運算,并展現問題本質,實現解題突破和解題優化,因而應引起同學們的高度重視.

4 變式訓練

題3 已知a,b,c為某一直角三角形的三邊長，c為斜邊長，若點P(m,n)在直線ax+by+2c=0上，則m2+n2的最小值為____.