利用圓錐曲線的相似性解決一類問題

唐宜鐘

(陜西省漢中市龍崗學校 723100)

1 問題提出

由于含有多個字母，且中間涉及換元技巧，有一定難度. 作為選擇題，多數學生運用特值法，令拋物線為y2=4x(p>0)，可得

換用其他特值，依舊成立.于是筆者猜測：所有拋物線都相似，它們對應線段長所成比例表達式存在某種形似.

2 問題證明

曲線相似定義：已知圖形C1與圖形C2，若兩個圖形上的點之間存在一一對應關系，且圖形C1上任意兩點的距離與圖形C2上兩對應點的距離之比是常數k(k≠0),我們稱這兩個圖形相似，把k稱為圖形C1對圖形C2的相似比.

如圖1，把兩個圓錐曲線C1和C2平移使得相應的焦點重合于點F，從點F任意作一條射線分別與兩曲線交于點P1與P2，則

圖1

特別地，當e1=e2=1時，共焦點的拋物線是相似的，相似比等于焦準距之比，相似中心為焦點.

又相似比也等于通徑之比，故開口相同的拋物線平移到同一頂點也相似，相似中心為頂點. 通過旋轉，不同開口方向的拋物線可以統一開口方向.

故所有的拋物線都相似，相似比為焦準距之比(通徑之比).

3 高考運用

可認為點H在拋物線C:y2=2px(p>0)上，點N在拋物線C′:y2=px(p>0)上.

顯然拋物線C與C′相似，相似中心為頂點.

例2(2019年浙江卷)如圖2，已知點F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點，過點F的直線交拋物線于A,B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且點Q在點F右側.記△AFG,△CQG的面積為S1,S2.

圖2

(1)求P的值及拋物線的標準方程；

解析(1)y2=4x；

由A，F，B三點共線得kAB=kAF.

從而ab=-4.

同理可得ac=-4q.

由三角形重心公式,得

c=-a-b，

由于所有拋物線都相似，故其對應三角形面積之比為相似比的平方.本題是兩個三角形面積之比，故對任意拋物線，面積比例式應該相同.

事實上，若拋物線為y2=2px(p>0)，仿照上述解法，可得

ab=-p2，ac=-2pq.

即c=-a-b，

可見，對任意拋物線，本題結果都不變.

4 結論推廣

通過上述證明，說明離心率相同的共焦點橢圓(雙曲線)相似.

可得到兩個橢圓(雙曲線)的長軸、短軸或焦點對應成比例，則它們相似，相似中心可以為中心與頂點.

即兩個橢圓(雙曲線)只要離心率相同，在對應頂點重合，或中心重合，或對應焦點重合的前提下，都是相似的，相似比為焦準距之比(通徑之比).