活用定義 巧解圓錐曲線考題
——以2022屆八省聯(lián)考第5題為例

賀鳳梅

(新疆維吾爾自治區(qū)伊犁鞏留縣高級(jí)中學(xué) 835400)

在近幾年的高考試題中，拋物線以選擇題、解答題的形式出現(xiàn).2016年全國(guó)Ⅰ卷理科第10題、2018年全國(guó)Ⅱ卷理科第19題、2021年全國(guó)乙卷理科第21題均考查了拋物線.2022屆八省聯(lián)考題以選擇題的形式進(jìn)行了考查，彰顯了拋物線定義應(yīng)用的普遍性，從試題設(shè)置來(lái)看，也突出了解題的技巧性和靈活性.如果只是按部就班地解此題，很可能在考場(chǎng)上耗費(fèi)大量時(shí)間還未成功，從而對(duì)考生的心理造成消極的暗示，影響其他試題的解答.下面以2022屆八省聯(lián)考題為例，期待通過(guò)思路的分析及解法的對(duì)比，厘清問(wèn)題的本質(zhì).

1 問(wèn)題的提出

題目(2022屆八省聯(lián)考第5題)如圖1，拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，l與y軸交于點(diǎn)E，已知|AF|=7，|BF|=3，記△AEF的面積為S1，△BEF的面積為S2，則( ).

A.S1=2S2B.2S1=3S2

C.S1=3S2D.3S1=4S2

2 解法探究

解法1(以?xún)蓚€(gè)三角形的底和高為研究對(duì)象)

設(shè)AB與x軸的交點(diǎn)為P，以PF為兩個(gè)三角形的公共底邊，高由對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值確定，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，結(jié)合圖1有y1>0，y2<0.

由拋物線的定義,得|AF|=x1+1=7，

解得x1=6.

由|BF|=x2+1=3，解得x2=2.

圖1

所以直線AB的方程為

S△BEF=S△EFP-S△BFP

故選C.

評(píng)析此種解法思路自然，沒(méi)有變形技巧和思維難度，需要什么求什么. 但從解題過(guò)程來(lái)看，不亞于一道大題的計(jì)算量. 如何破解此題，實(shí)現(xiàn)小題小做，小題巧做呢？重新審視此題，既然題設(shè)中與焦點(diǎn)弦有關(guān)，我們要充分利用拋物線的定義和性質(zhì)，還有兩三角形的面積如何表示，能實(shí)現(xiàn)面積的比與已知條件中線段的長(zhǎng)度建立相對(duì)直接的關(guān)系，題目就簡(jiǎn)單很多.

解法2 (利用拋物線的定義，借助平面幾何知識(shí)解答)如圖2，作AA1⊥y軸于點(diǎn)A1，作BB1⊥y軸于點(diǎn)B1，所以AA1∥BB1.

圖2

由拋物線的定義,得

設(shè)點(diǎn)F到AB的距離為d，

故選C.

評(píng)注此法利用拋物線的定義及幾何位置關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，將化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)得淋漓盡致，很好地領(lǐng)悟了命題者的意圖.

3 舉一反三

如果題設(shè)中出現(xiàn)了拋物線的焦點(diǎn)、焦半徑、拋物線上的點(diǎn)及準(zhǔn)線時(shí)，一般應(yīng)考慮利用拋物線的定義解題，而對(duì)拋物線有關(guān)問(wèn)題的求解，若能巧妙利用定義轉(zhuǎn)化，則常能化繁為簡(jiǎn)，優(yōu)化解題思路，節(jié)省解題時(shí)間，提高解題效率，拓展思維能力.下面分類(lèi)舉例.

3.1 比值問(wèn)題

解析設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨設(shè)y1>0，y2<0，作AE垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)E，作BD垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)D，如圖3.由拋物線的定義知|BF|=x2+1=5.

圖3

所以x2=4.由題設(shè)可求得y2=-4.

所以B(4，-4).則AB的方程為y=4x-20.

2x2-(p+8)x+8=0.

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系知

①

②

聯(lián)立①②解得x1=4，x2=1.

3.2 長(zhǎng)度問(wèn)題

3.3 最值問(wèn)題

例4設(shè)拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(3,2)，當(dāng)|PA|+|PF|取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)___.

評(píng)析與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，優(yōu)先考慮拋物線的定義，當(dāng)然拋物線的定義在應(yīng)用上有很大的靈活性，這對(duì)學(xué)生的思維能力和轉(zhuǎn)化能力提出了更高的要求.正所謂“看到焦點(diǎn)作準(zhǔn)線，看到準(zhǔn)線連焦點(diǎn)”.(參考答案：P(2,2).)

3.4 參數(shù)問(wèn)題

例5過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則此拋物線的方程為_(kāi)___.

評(píng)析本題是山西大學(xué)附中2019屆的一道適應(yīng)性檢測(cè)壓軸題，有一定的難度和靈活性，但只要利用定義進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，還是可以突破的.(參考答案：y2=3x)

拋物線的定義揭示了拋物線的內(nèi)涵與外延，也反映出它的本質(zhì)，在解題教學(xué)中，我們倡導(dǎo)要回歸課本，回歸定義.美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題》一書(shū)中說(shuō)到“回到定義上去是一種重要的思維活動(dòng)”.因此，用好定義解題很重要，它不僅可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，還能提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和自信心.