琴生不等式在不等式證明中的應(yīng)用

林國紅

(廣東省佛山市樂從中學(xué) 528315)

不等式的證明方法眾多，靈活多變，技巧性較強，其中構(gòu)造函數(shù)是證明不等式的有效手段之一，利用構(gòu)造函數(shù)法來證明不等式實質(zhì)是函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，其關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件的特征，構(gòu)造一個恰當?shù)暮瘮?shù).琴生不等式是函數(shù)凸凹性的應(yīng)用，在中學(xué)數(shù)學(xué)有著廣泛應(yīng)用，特別是在競賽與自主招生中應(yīng)用較多.如果能夠根據(jù)題設(shè)、結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，巧妙變換，靈活選用琴生不等式往往解題過程簡潔明快，能起到事半功倍的效果，堪稱解題“利器”.

下面通過幾個例子說明琴生不等式在不等式證明中的應(yīng)用.

證明設(shè)f(x)=sinx(0

f′(x)=cosx，f″(x)=-sinx<0.

從而函數(shù)f(x)在(0,π)是上凸函數(shù).

由琴生不等式，可得

從而函數(shù)f(t)在(0,+∞)是上凸函數(shù).

由琴生不等式，可得

從而函數(shù)f(x)在(0,+∞)是下凸函數(shù).

由琴生不等式，可得

從而函數(shù)f(t)在(0,1)是下凸函數(shù).

由琴生不等式，可得

所以原不等式得證.

不妨設(shè)a2+b2+c2=1，記x=a2,y=b2,z=c2，則x+y+z=1.

從而函數(shù)f(t)在(0,+∞)是上凸函數(shù).

由琴生不等式，可得

所以原不等式得證.

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)是下凸函數(shù).

由琴生不等式與均值不等式有：

當且僅當a=b=c=1時，等號成立.

原不等式可化為

所以只需要證明：

所以函數(shù)f(t)在(0,+∞)是單調(diào)遞減.

所以函數(shù)f(t)在(0,+∞)是下凸函數(shù).

再由琴生不等式與均值不等式得：

當且僅當x=y=z=1時，等號成立.

所以原不等式得證，當且僅當a=b=c=1時，等號成立.

從以上幾例不難發(fā)現(xiàn)，通過構(gòu)造凸函數(shù)，利用琴生不等式證明不等式，能降低思維強度，簡化推理過程，具有直觀、簡捷、明快的特點，證明思路新穎獨到，充分體現(xiàn)了琴生不等式的魅力.