基于“構造法”的高中數學解題思路探索

莊素慧

(福建省漳州第一中學 363000)

數學是高中學科當中對學生的知識運用以及抽象能力要求最高的一門學科，其本身的學科難度讓不少學生望而卻步，尤其是一些難題，更是讓一些學生毫無頭緒.傳統的解題思路某種程度上是簡單的解題方法，但是面對一些已知條件和所求所證問題之間的聯系不明顯的時候，會讓大多數學生不知所措，這也是其知識運用的僵化體現，數學解題思維的培育就是需要學生打破解題思維的僵化，基于自身的知識經驗活學活用，創新思維，這也是構造法的內涵.

1 構造法在高中數學解題中的實際運用

1.1 解題直觀化：函數的構造

在高中的數學學習當中函數的重要性不言而喻，更是高考的必考點.而且函數本身就是一種針對未知關系和已知關系的表達，數學歷史上很多的著名問題都是借助函數得到論證的.所以，針對高中解題中的構造法的應用，通過構造函數展開題目的分析論證無疑是高效的，通過對已知信息的深化挖掘，從而讓復雜的題目內容變得直觀、簡化，從而提高解題效率和解題精準度，這種構造函數的方法也在幾何和代數問題的解決當中得到廣泛使用.

例1 已知關于x的方程x2-(2a+1)sin(cosx)+1-4a2=0有唯一實數解，求實數a的值．

分析基于題目我們可以看出這是一道二次元方程題.但是因為含有未知參數，很多學生毫無頭緒.但是我們通過認真觀察可以發現題目當中的一些已知和未知參數可以用一些函數關系來表達.在教師針對案例講授時，教師可以分析問題后引導學生書寫解題過程，讓學生領悟整體的解題思路，分析函數構造法的具體運用方式，讓學生做到會一題，通一類，有效提高教師的教學效率和學生的學習效率.

解析構造函數f(x)=x2-(2a+1)sin(cosx)+1-4a2，因為f(-x)=f(x)，所以f(x)為偶函數.

設x0為f(x)=0的解，則-x0也為f(x)=0的解．

由題目已知可得，f(x)=0有唯一的實數解，即-x0=x0，顯然x0=0．

所以f(0)=02-(2a+1)sin(cos0)+1-4a2=0.

即(2a+1)(1-2a-sin1)=0.

1.2 條件關系的表達：方程的構建

函數和方程的聯系性極大，函數的構造可以讓題目更直觀化，同理，方程的構造也可以極大地簡化解題過程.而且當方程和函數同時運用的時候往往可以解決大部分的難題.方程的構造需要建立在對于已知條件的深入分析，將各條件和內容之間的關系理清，從而利用方程構建這種已知關系之間的方程式表達，有效解決問題.

例2 已知a>b>c，且a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a+b的范圍.

分析根據已知條件，我們可以通過對問題的結構和數量關系的分析構建等量方程式，從而有效表達已知條件和未知量之間的關系，而且可以通過變形恒等式，實現內容由抽象化轉向實質化和特殊化，從而有效提高學生的解題效率，促進學生學科核心素養的提高.

解析由a+b+c=1可得a+b=1-c.

所以(a+b)2=(1-c)2.

將a2+b2+c2=1代入得ab=c2-c.

所以可知a，b是方程x2+(c-1)x+(c2-c)=0的兩個不等的實根.

所以Δ=(c-1)2-4(c2-c)=-3c2+2c+1>0.

又由(a+b+c)2=1，得

1+2ab+2bc+2ac=1.

所以ab+bc+ac=0.

而a,b,c不可能同號，即c<0.

即a+b=1-c>1.

1.3 解題過程的優化：數列的構造

等差數列和等比數列難度雖然不是很高，但是其中包含的數學知識較為廣泛.構造法當中數列的構造往往應用于一些特殊的題目當中，主要是針對題目進行分析,構造等差和等比數列，從而優化解題思路.

分析基于傳統的求解我們需要通過分析數列前幾項的和求出一些條件，從而利用數列的通項公式求出Sn的具體表達式.但是這種傳統的解題方式往往比較繁瑣，所以我們可以利用數列構造法簡化解題流程和思路，實現高效化解題.

解析由題目已知，n≥2時，an=Sn-Sn-1.

1.4 抽象變直觀：向量的構造

在高中，向量不應該局限于單一的知識討論，而是應該參與高中階段的數學知識的整合深化，通過利用向量，將抽象問題直觀化，將函數問題圖形化，從而有效地解決難題，避免了傳統的復雜解題過程.

這道題是一類經典的函數問題，能夠使用傳統的解題方法進行解決，而傳統的方法會產生大量的計算步驟，并且容易產生計算錯誤.如果能夠利用向量，使用構造向量法，將有效降低其解題難度.

2 構造法在高中解題中的關鍵點

構造法是基于培育學生的數學思維、創新性和思維敏捷性開展的一種解題方法，學生可以通過具體問題的特征發散思維，發揮數學知識的創新性，從而開展基于函數、圖形、方程等手段的構造，將問題直觀化、具體化，實現問題的解決.

2.1 構造法運用的前提：審題和題意的理解

在高中數學解題中運用構造法，教師首先要教會學生審題，這是學生開展正確解題的前提.如果學生在處理題目時不重視審題，那么在解題時就會走進誤區，會導致過程或結果出現嚴重偏差或錯誤.審題時，通過對題目條件的分析和提取，對求證問題展開分析，是否存在隱藏條件，從而揣摩題目的真實解題路徑.題意的錯誤理解直接就造成了解題的出錯，所以一定要重視審題工作和深刻理解題意以免錯誤.

2.2 構造法運用的思維：問題的多角度思考

在高中數學解題中運用構造法，是指學生根據已學知識點而展開的多維度的問題思考，并由此進行了多方位的問題處理.高中數學問題非常靈活，在審清問題以后要求學生靈活運用自己所學知識從不同的視角去思考數學問題，從而讓學生能夠自己尋找解題的思路，做到構造法的熟練運用.教師應該教導學生跳出框架式解題思維，注重核心素養下的數學思維的培育，督促學生養成知識的活學活用、活學活練，實現教學效率和學習效率的雙重提高.

數學問題一般較為靈活，解題思路比較多樣，如果從不同的視角去審題，所得出的解題思維方式就會有所不同.教師在學生平時的習題訓練當中，一定要督促學生基于自身的實際知識儲備和解題經驗出發，多角度地開展題目的深度解析，從而開展適合題意的解題方式.在初中剛升入高中的學生中，往往會存在將初中的解題思維帶到高中的數學問題中，這也對他們的數學學習帶來了一定的困擾.因為這種解題思維的框架已經局限了學生自身，無法跳出解題框架處理問題，導致高中的學習成績得不到有效提高，另外一方面可能也是因為高中的數學知識架構更加復雜，難度更大.所以，高中生需要的不僅僅是解題方法的學習與應用，更是解題思維和學習思維的革新.教師應該基于這種問題開展針對性的教學，在教學中對學生的解題思維和學習方法做出引導，規范學習習慣，促進學生的數學成績的有效提高.

2.3 構造法的實踐保障：題目的檢查整理

題目的檢查是必要的.這不僅可以提高學生的解題正確率，更是一個好的學習習慣的養成.高中畢竟要面對高考的考驗，而高考的成功不僅僅在于對知識的掌握，還在于知識的運用程度，心態的良好以及學習習慣的養成.教師有針對性地培養學生解題之后的檢查和錯題整理，不僅可以培養學生的學習習慣，而且可以引導學生自我反思，在解題思維和解題方法上不斷自我深化和改變，促進學生提高知識實踐能力.而且錯題集的整理，可以讓學生掌握題型，在以后的學習中舉一反三，在復習的時候會發揮出更大的作用.

總之，構造法的展開方式應該是多種多樣的，是基于具體問題和已掌握的數學知識的深化利用，是學科核心素養的有效體現，在內容上構造法可以基于數、式、函數、方程、數列、復數、圖形、圖表、幾何變換、對偶、模型建立、反例等方式方法展開.提高對構造法應用的重視，開展以構造法為主體的習題講解課，幫助學生掌握構造法的應用，打破學生的解題僵化思維，促進學生對于數學知識的活學活用，讓學生可以多角度地展開解題分析.教師應該教導學生跳出框架式解題思維，注重核心素養下的數學思維的培育，督促學生養成知識的活學活用、活學活練，實現教學效率和學習效率的雙重提高.