定球心求解外接球問題

張蔡莉

(福建省石獅市第一中學 362799)

微專題復習是圍繞一類問題,用一種數學思想方法進行一系列相關知識整合的教學.在教學中，讓學生對原有的知識加以整合，促進學生深度學習和思維發展.外接球作為高考的難點和熱點，考查的綜合知識多，對學生能力要求較高，一直是學生的弱點.筆者通過利用截面圓性質，尋找球心的方法，幫助學生總結幾種常見的空間幾何體的外接球問題，提升學生的空間想象能力和轉化和化歸能力.

1 直接利用截面圓的性質

例1A,B,C是球O上的三點，且△ABC的外接圓的圓心是O1，面積是4π，若AB=BC=AC=OO1，求球O的半徑.

所以AB=6.

所以等邊△ABC的外接圓半徑為

設球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d,則

所以三棱錐D-ABC高的最大值為6.

所以三棱錐D-ABC體積最大值為

2 利用長方體模型

長方體ABCD-A1B1C1D1的長為a，寬為b，高為c，過下底面ABCD的外接圓圓心作垂線，由截面圓性質知球心在垂線上，由球心的定義知球心在長方體中心的位置，即長方體的體對角線交點，故長方體外接球的半徑是它體對角線的一半.那么利用長方體模型，我們可以解決哪些特殊的錐體呢？為此，我們可以讓學生在長方體模型中畫出兩大類：一類是下底面取三個頂點，上底面取一個頂點，構成側棱垂直底面的三棱錐；一類是下底面取兩個頂點，上底面取兩個頂點，構成對棱相等的三棱錐.從而利用補成長方體的辦法解決，達到轉化與化歸的目的.

例2 三棱錐D-ABC，DA⊥面ABC，AC⊥BC，DA=AB=2BC=2,求D-ABC的外接球的半徑.

圖1

設長方體的外接球半徑為R，則

(2R)2=4+3+1=8.

圖2

當球心O到過點P的截面圓距離d=OP時，d最大，按截面圓性質可得，截面圓的半徑r最小，從而得到截面的面積最小.

3 不能通過補形的幾何體

例4 三棱錐P-ABC中，正△ABC的邊長為3，AP=6，且AP⊥面ABC，求P-ABC外接球的半徑.

分析過△ABC的截面圓圓心O1作垂線，球心在垂線上，又球心O到垂直底面的側棱PA兩端點距離相等，故有OO1從而確定球心的位置，求出半徑.

圖3

4 與二面角有關的幾何體

例6 如圖4，已知△SAB是邊長為2的正三角形，∠ACB=45°，當三棱錐S-ABC的體積最大時，求外接球的半徑為多少？

圖4

分析由于△SAB的面積不變，當點C到面SAB的距離最大時，根據等體積法，三棱錐S-ABC的體積最大，此時可得.

面CAB⊥面SAB，且CA=CB.

過△SAB和△CAB的截面圓圓心O1和O2分別作垂線，交于點O，則點O為三棱錐外接球的球心，取兩個面的交線AB的中點E，連接O1E,O2E,由外接圓圓心的定義得，O1E⊥AB,O2E⊥AB.

即∠O1EO2是二面角C-AB-S的平面角.

故四邊形OO1EO2為矩形.

由正弦定理，得

分析如圖5，過△BCD和△ABD的截面圓圓心O1和O2分別作垂線，交于點O，則點O為三棱錐A-BCD外接球的球心.

圖5

取兩個面的交線BD的中點M，連接O1M,O2M,由外接圓圓心的定義得，∠O1MO2是二面角A-BD-C的平面角.

解三角形，得

因為△OMO2≌△OMO1，∠OMO1=60°，

在Rt△OMO1中得OM=1.

連接OB，因為在Rt△OMB中，

OB2=OM2+MB2.

當然，如果是普通的三角形，我們也可以利用正余弦定理解三角形，根據O，O1，M，O2四點共圓，求出OM.

又因為O，O1，M，O2四點共圓，則OM為△O1MO2外接圓直徑，也可以得到OM=1，從而求解.

綜上所述，有關幾何體的外接球，我們可以利用截面圓的性質，分析幾何體的結構特征，確定球心的位置，再通過解三角形，求出外接球的半徑，達到萬變不離其宗.

總之，高中數學以發展學生數學學科核心素養為導向，我們可以利用有針對性的微專題，讓每一節復習課更有針對性，讓學生在教中學，學中悟，及時總結提升，高考中才能有效化解難點.