淺談兩邊夾原理的應用

湯愛堯

(甘肅省民樂縣第一中學 734500 )

圖1

下面我們就利用這一原理解一些高難度的題目.

1 代數角度的夾逼

例1 已知集合X={x|x=2n+1,n∈Z},Y={y|y=4k±1,k∈Z},試證明:X=Y.

分析證明集合相等目前比較淡化，它只出現在選擇填空題中，所以大部分學生都用了特值法就能解決，但失去思辨能力訓練的機會.由前面提及，只要證X?Y,且Y?X.

證明(1) 設x0∈X，則x0=2n0+1且n0∈Z.

①若n0是偶數，可設n0=2m,m∈Z,則x0=4m+1,所以x0∈Y.

②若n0是奇數，可設n0=2m-1,m∈Z,則x0=2(2m-1)+1=4m-1,所以x0∈Y.

所以不論n0是奇數還是偶數，都有x0∈Y.

所以X?Y.

(2)又設y0∈Y，則y0=4k0+1,或y0=4k0-1,k0∈Z.

因為y0=4k0+1=2·(2k0)+1,y0=4k0-1=2·(2k0-1)+1,k0∈Z,

又因為2k0∈Z,2k0-1∈Z,

所以y0∈X,則Y?X.

由(1)(2)，得X=Y.

例2 在數列{an}中，已知a1=1，且對任意的n∈N*，都有an+3-6≤an≤an+2-4恒成立，則a301=____.

解析從題設看沒有告知是什么數列，所以從通項公式的角度是無法求解的，已知條件告知是“夾逼”形式的不等式組，而要求的是具體值，所以首先考慮的是m≤a301≤m.

依條件有a301=(a301-a299)+(a299-a297)+…+(a3-a1)+a1≥150×4+1=601.

同理：a301=(a301-a298)+(a298-a295)+…+(a4-a1)+a1≤100×6+1=601.

所以a301=601.

解析題目是用函數搭平臺，實質是數列問題，所以通過“函數不等式組”夾逼出函數方程，進而轉化為數列問題.

由已知得f(x)+2017≤f(x+2017)=f(x+1+2016)≤f(x+1)+2016.

則f(x+1)≥f(x)+1.

從而f(x)+2016≥f(x+2016)=f(x+2015+1)≥f(x+2015)+1=f(x+2014+1)+1≥f(x+2014)+2≥…≥f(x+1)+2015.

則f(x+1)≤f(x)+1.

所以f(x+1)=f(x)+1.

從而an+1-an=1.

故a2018=a1+(2018-1)×1=2019.

分析看到題設中有絕對值和不等號，聯想到絕對值三角不等式|a|+|b|≥|a±b|,它和“兩邊夾原理”不謀而合，所以|f(x)+cos2x|+ |f(x)-sin2x|≥|f(x)+cos2x-f(x)+sin2x|=1.

2 從幾何圖象角度的夾逼

例5 (2012年浙江省高考數學理科第17題)設a∈R，若x>0時，均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，則a=____.

解析表面看很象解不等式的題目，實質不然，用數形結合思想考慮，在x軸的右側，兩圖象分布的象限要一致.

圖2

如果再研究下去，對已知不等式變形，可以得到不同的函數解析式，也就有不同圖象.

原不等式可化為x2-1≤ax≤x+1或x+1≤ax≤x2-1對x>0恒成立.

圖3

夾逼思想往往與數學中不等式結合，對函數圖象的運用往往是解決的點睛之處，本題妙在“夾死”能求直線方程，至于相切于點P檢驗即可.

3 “無中生有”的夾逼

前面所講的代數或幾何夾逼題設中多少有點暗示，但是有些題目風平浪靜，讓人覺得無從下手，難度越發大.

例7求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的實數解.

解析從一個方程中求出兩個未知量，除非出現形如(x+a)2+(y+b)2=0,因此從這個角度考慮要拆項配方：4x2+8xy+4y2+x2-2x+1+y2+2y+1=0,即(2x+2y)2+(x-1)2+(y+1)2=0.故原方程的實數解為x=1,y=-1.

這種方法用到的拆項很局限，如果系數復雜，不一定能成，考慮到如果將其中一個變量當作主元，那么二元二次方程就變成含參一元二次方程，想到Δ≥0，這就是一個更好的夾逼機會.下面用兩邊夾原理來解：

將原方程整理成關于x的方程，得

5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0.

因為x是實數，所以Δ=(8y-2)2-4×5×(5y2+2y+2)≥0.即(y+1)2≤0.而(y+1)2≥0，所以y=-1.將y=-1代入原方程解得x=1.

故原方程的實數解為x=1,y=-1.

例8 解方程組

解析由例7啟示，解決此題就輕車熟路了.將①變形為關于x的方程，得

x2-(y+3)x+y2+3=0.

因為x是實數，

所以Δx=[-(y+3)]2-4(y2+3)≥0.

即(y-1)2≤0,而(y-1)2≥0，所以y=1.

將y=1代入①解得x=2.

將x=2,y=1代入②解得z=2或3.