特值法在解題中的應用

程永軍

(江蘇省南京市雨花臺中學 210000)

高中數學的集合、函數、不等式、空間立體幾何等重要知識點是高考拉開學生成績的關鍵，也是讓許多高中生焦頭爛額的學習難點.高考考場時間寸秒寸金，一些題目按照傳統的運算步驟耗時耗力，一步運算出錯就會前功盡棄.因此，廣大高中數學教師要在日常的教學過程中加強填空題、選擇題的特殊值教學工作，讓學生學會巧代特殊值，不斷積累特殊值求解的經典例題，從而為數學解題尋找捷徑，提高數學答題效率，最終取得優異的高考數學成績.

1 特值法在解題中的重要性

1.1 開拓學生思維

高中數學解題中的特值法可以節省解題時間，在最短的時間內得出正確答案，為后續的解題提供充足的時間.其特值不單是指特殊值，也指特殊點、特殊數列、特殊幾何等，只要在題目當中屬于特殊情況就都可以將其代入題目中，利用這些特殊值來快速地解決，得出問題的正確答案.特殊值法不僅能夠開拓學生的思維，而且能夠幫助學生形成發散性思維.除此以外，特殊化比一般化更為重要.特殊化策略是將原問題視為一般，構造其特殊問題，通過對特殊問題的分析而獲得原問題的解決，特殊化策略是一種退的策略，所謂“退”，可以從復雜退到簡單，從一般退到特殊，從抽象退到具體.在這種特殊值的方法下，能夠有效促進學生的邏輯思維發展，幫助學生樹立良好的思維意識.

1.2 把問題簡單化

建構主義理論認為，學習不是教師單純地進行教學，而是數學教師教會學生如何進行數學學習的過程 ，雖然學生在學習中沒有過多地接觸復雜、難懂、抽象的數學表達，沒有過于豐富的解題經驗，但是他們依照對數學思維的認識，會以較為形象、直觀的方法表達他們對題意的解釋.特值法就是他們生活經驗與數學理解有效結合的形式之一，通過直觀表達，學生從復雜的文字表述中提煉出重點詞、關鍵句，簡化了繁雜的題意，讓思維更為簡單、更有價值.不得不說，特殊化作為化歸策略，其基本思想方法是很簡單的，對于“一般”而言，“特殊”問題往往顯得簡單、直觀和容易解決，并且在特殊問題的解決過程中，常常蘊含著一般問題的解決方法.所以，人們在解決某個一般性的數學問題遇到困難時，常常會想到先解決它的特殊情況，然后再把解決特殊問題的方法推廣到一般問題.從形式上看，將一般問題特殊化是不困難的，但是某個一般性問題經過不同的特殊化處理后會得到多個不同的特殊化命題.

1.3 提高數學成績

特值法作為高考中的基本數學方法，多數時候用于選擇題和填空題，通過找到題目的特殊值，將其代入到所解的式子中，將問題簡單化，不僅能夠提升學生的學習效率，而且適用于考試這一特殊場景中，幫助學生在短時間內得到高的分數，同時又能夠鍛煉學生的發散性思維和邏輯思維.特殊值法的解題依據和邏輯基礎是，如果某個結果對一般情況適用，那么對特殊情況也適用；如果對特殊情況適用，那么對一般情況不一定是適用的；如果對特殊情況不適用，那么對一般情況也一定不適用.這是一個非常簡單的思維邏輯.

2 特值法在高中數學解題中的應用

2.1 特值法幫助學生靈活運用數學知識

高考試卷有送分題和拉分題兩種題型，送分題用傳統的解題方法即可求解，但拉分題按照傳統作答方式步驟十分繁瑣，考場時間寸秒寸金，出題人意在選拔具有創新數學思維、靈活運算技巧的優秀數學人才.因此，廣大教師要引導學生充分利用高考真題活化自己的數學思維，提升數學運算速度和答題正確率.

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1

這道試題重點考查學生的直線函數與三角函數知識，同時這是一道選擇題，教師要鼓勵學生“小題小做”，采用排除法或特值法進行求解.教師可以引導學生運用多種方式進行解答.

(2)特殊公式法.教師要鼓勵學生多用巧力解題，靈活運用平常記憶的特殊公式解題，該直線函數正好等于1，由sin2α+cos2α=1可知點M在單位圓上，再由題目可知直線與單位圓有交點，接著運用直線與圓的距離公式便可求解.

(4)關于“1”的平面向量法.教師可以指引學生利用平面向量數量積坐標運算法則進行解答.

2.2 特值法幫助學生培養靈活數學運算思維

特值法不同于循規蹈矩的傳統數學運算，它需要學生在熟練掌握教材知識的基礎上靈活運用知識，結合題干給出的特殊點、特殊直線、特殊函數、特殊幾何圖形，并根據自己的作答經驗尋找最快捷的解題方法.另外，特值法還可以幫助學生鍛煉數學思維、積累數學運算技巧.

題2 定義在R上的函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x，y∈R)，f(1)=2，則f(-3)等于( ).

A.2 B.3 C.6 D.9

該題是一個典型的抽象函數題，傳統的解題方法是反復賦值、重復運算，而特殊值則令x=n，y=1，接著運用題干所給的關系式將函數f(x)轉化為函數f(n)，或者求出f(0)，f(3)的數值，進而求得函數f(n)的解析式，然后利用函數f(n)的解析式求得答案，這樣便可以把抽象函數轉化為帶有解析式的普通式方程，為學生節省大量的運算時間.

另外，“特值法”指的是特殊代替一般，但并不改變試題的根本性質，這一特點便表明特殊值代入、特殊值轉換、特殊函數構造等都是題目作答的一種特殊情況.大多數學生擅長利用傳統方式作答，特值法可以看成是對傳統作答方法的一種補充.

2.3 尋找滿足特值法使用的條件

使用特值法需要考慮一定的限制條件，代入特殊數值不能影響最后的運算結果，其次，代入的量要與題干所給的關系式緊密對應.針對某些試題，一般條件成立，特殊條件也能成立，但特殊條件成立，一般條件可能不成立.許多學生為了省時省力盲目使用特值法解題，經常把0，1等數值直接代入題干公式中，這可能導致使用傳統的簡單運算就能解答的送分題變成奪命題，最終讓學生喪失了對特值法的使用信心.因此，廣大高中數學教師要積極培養學生善于從題干中剝離條件、細心分析的能力，并讓學生養成題后檢查的習慣.

題3已知y=loga(2-ax)在區間[0，1]上單調遞減，則a的取值范圍為( ).

A.(0，1) B.(0，2) C.(1，2) D.[2, +∞)

該題是一道指數對數函數問題，由對數知識可以得到a>0，且a≠1，由此可以運用排除法，將B選項排除掉.又因為函數在區間[0，1]為單調遞減，A選項明顯不符合.教師可以讓學生細心觀察剩下的C，D選頂，并發現其中的規律，如C，D選項都有數值2，這時，教師便可以引導學生利用特值法并結合對數函數成立條件，如果特殊值2不能滿足題干要求，則該選項必定是錯誤的，學生不用再考慮其他數值，最終選擇C選項.

2.4 特值法是解決填空難題的有效方法

高中數學填空題也是特值法常見的應用題型，常見的應用類型有求代數的取值范圍、直接求值、幾何圖形等.

該題型需要學生運用三角形、等差數列、三角函數等知識進行求解，傳統的數學求解需要運用三角函數公式進行復雜代換，而運用特值法可以一分鐘內求得結果.學生在作答前要認真閱讀填空題的題干，精準把握題目要求，如該題目要求三角形三邊長為等差數列，我們不妨取等邊三角形直接代入計算，令三個角都為60°，便可以輕松得到結果，這樣既滿足題目所給出的條件限制，又能幫助學生快速作答.另外，填空題不同于選擇題，學生沒有可以參考的選項，必須從題干中多挖掘隱藏的信息，結合教材知識，尋找可以滿足題干要求的特殊值代入計算.

總之，特值法求解可以幫助學生快速、高效作答，利于學生節省更多寶貴的考場時間攻克后面難度較大的壓軸題，高中數學老師要在日常的教學工作中引導學生多思考、多提問，爭取做到一題多解、一法多用，從而幫助學生取得優異的高考數學成績，實現人生理想！