巧變形 妙求數列通項公式

李小花

(甘肅省蘭州市第二十四中學 730085)

眾所周知，數列是特殊的函數，函數解析式是函數表示法的一種，同樣，數列的通項公式是數列最重要的表示法.因為求出數列通項公式就能知道數列概貌，研究問題大大方便了.所以在一些數列解答題中，第一小問往往是求通項公式.求通項公式有一些常用方法：累加法、累乘法、退位相減法、待定系數法等.對一些高難度求通項公式的題目，運用各種恒等變形手段，轉化為上述幾種模式，就唾手可得了.

1 累加法模型

適用累加模型的是形如an+1-an=f(n)(n∈N*)，其中∑f(n)能求出和.再推廣為形如(n+1)an+1-nan=f(n)(n∈N*)，還可以更一般化為G(n+1)-G(n)=f(n)(n∈N*).

進而(an-1)2-(an-1-1)2=3n2+n.

令(an-1)2=bn，則bn=bn-1+3n2+n.

即bn-bn-1=3n2+n.

從而bn-1-bn-2=3(n-1)2+(n-1),…,b2-b1=3×22+2.

(n-1)an+1-(n+1)an=-(n+1).

同除以(n+1)(n-1),得

……

以上各式累加,得

又a2=6，所以an=n(2n-1).

當n=1時，有(1-1)a2-(1+1)a1=-(1+1),可得a1=1,也符合上式.

故對任意n∈N*, 均有an=n(2n-1).

以上各式累加，得

2 累乘法模型

解法1 (官方提供答案)由已知得2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,所以(n+1)(an+1-an)=(n-1)(an-an-1),這一步是很難想到.

解法2 由已知得2nan=(n-1)·an-1+(n+1)an+1,聯想到此式類似等差中項的表達，后續勢如破竹.再變形(n+1)an+1-nan=nan-(n-1)an-1.

從而{nan-(n-1)an-1}是常數列.

故nan-(n-1)an-1=2a2-a1=3.

3 退(升)位作差法

當遞推關系式中含有Sn和an，視題目結構，要么用上an=Sn-Sn-1(n≥2)，消去an，求出Sn，再“反哺”求出an；要么由已知求出退(升)一位的遞推關系式，作差后自然剩下關于an的遞推式，從而轉化為第一、二類型.

解析由已知得

①

下標退一位，可得

②

①②兩式相減，得

即(n+1)an=nan+1-n(n+1).

4 待定系數法

解析由(2-an+1)(4+an)=8,得