例談同構(gòu)思想在解析幾何中的妙用

金 毅

(內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市第二中學(xué) 010000)

“同構(gòu)思想”是數(shù)學(xué)中非常有實(shí)戰(zhàn)意義的數(shù)學(xué)思想，其基本內(nèi)涵是：可以把某參數(shù)或代數(shù)式整體當(dāng)做變量，則等式整體可看做方程或函數(shù). 也就是說(shuō)，雖然變量不同，但是代數(shù)結(jié)構(gòu)相同.這一思想在解析幾何中被廣泛應(yīng)用，體現(xiàn)在“整體代換、設(shè)而不求”的解題過(guò)程中.

1 同構(gòu)于一次方程，設(shè)而不求

例1已知拋物線x2=2py(p>0)，過(guò)拋物線外一點(diǎn)(x0,y0)引拋物線的兩條切線，切點(diǎn)為A,B，求直線AB的方程.

對(duì)比兩個(gè)表達(dá)式

故直線AB的方程為x0x=p(y0+y).

點(diǎn)評(píng)判斷同構(gòu)的依據(jù)本質(zhì)是依托于“方程的解”. 也就是說(shuō)，A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是直線x0x=p(y0+y)的兩個(gè)解，這樣就可以把兩個(gè)代數(shù)表達(dá)式統(tǒng)一在一個(gè)一次方程上. 在幾何上，體現(xiàn)為“兩點(diǎn)確定一條直線”. 可見(jiàn)，解析幾何中的同構(gòu)最終體現(xiàn)在代數(shù)表達(dá)式上，這種同構(gòu)的發(fā)掘是從表達(dá)式的一致與對(duì)稱上尋找突破口. 因此，若想靈活運(yùn)用同構(gòu)思想，則需要充分挖掘解析幾何在代數(shù)運(yùn)算上的特征，對(duì)表達(dá)式進(jìn)行充分的計(jì)算變形.

例2已知雙曲線C:x2-y2=4，過(guò)點(diǎn)P(1,t)(|t|<1)作C的兩條切線PA,PB，其中A,B為切點(diǎn)，求證：直線AB過(guò)定點(diǎn).

解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，首先研究直線PA，根據(jù)題意，直線PA的斜率必然存在，設(shè)為k，可得直線PA的方程為y-y1=k(x-x1).

可得二次方程(k2-1)x2+2k(y1-kx1)x+(y1-kx1)2+4=0，

Δ=4k2(y1-kx1)2-4(k2-1)[(y1-kx1)2+4]=0.

即x1x-y1y=4.

將P(1,t)代入，得到x1-ty1=4.

同理，可得x2-ty2=4.

比較兩個(gè)等式,可得它們同構(gòu)于一次方程x-ty=4，這個(gè)方程表示直線AB，根據(jù)方程，直線AB過(guò)定點(diǎn)(4,0).

點(diǎn)評(píng)本題對(duì)同構(gòu)的判斷依然與例1相同，依然是A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程的解. 在對(duì)切線方程的處理上，本題與例1稍有不同，例1通過(guò)求導(dǎo)處理，例2通過(guò)聯(lián)立處理. 處理的目的是為了簡(jiǎn)化表達(dá)式，便于找到同構(gòu)關(guān)系.

2 同構(gòu)于二次方程，設(shè)而不求

(1)求C的方程；

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P2且與C相交于A,B兩點(diǎn)，若直線P2A與直線P2B的斜率和為-1，證明：l過(guò)定點(diǎn).

對(duì)比這兩個(gè)等式我們發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)等式中，k1,k2相當(dāng)于二次方程4(m2-1)x2+8k(1-m)x+(m-1)2+4k2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

所以m=-2k-1.

所以直線AB方程可寫為y=kx-2k-1，其過(guò)定點(diǎn)(2,-1).

(x1-t,y1)=λ(-x1,1-y1).

整理得到3λ2+8λ+4-4t2=0.

同理可得3μ2+8μ+4-4t2=0.

3 同構(gòu)于函數(shù)，設(shè)而不求

圖1

解析根據(jù)橢圓的第三定義，得

同時(shí)有kBM=-k2，

4 總結(jié)與反思

從以上各例的分析來(lái)看，想要在圓錐曲線中靈活運(yùn)用同構(gòu)思想，需要注意以下方面：

4.1 相同的計(jì)算方式往往暗示同構(gòu)式的出現(xiàn)

當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)需要用相同的計(jì)算方式來(lái)處理點(diǎn)和直線時(shí)，有極大的可能性出現(xiàn)同構(gòu). 所以，在審題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)匕褞缀挝恢藐P(guān)系轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的代數(shù)表達(dá)式，再?gòu)拇鷶?shù)表達(dá)式中尋求同構(gòu)式.

4.2 確定同構(gòu)式的關(guān)鍵是“找相同，比不同”

首先，當(dāng)?shù)玫絻蓚€(gè)類似的代數(shù)表達(dá)式后，一定要對(duì)比兩個(gè)表達(dá)式，找出相同部分，比較不同部分. 往往相同部分決定了同構(gòu)式，不同部分決定了未知數(shù)或變量.如果是同構(gòu)于某一函數(shù)，要明確自變量的取值范圍.

綜合以上分析，我們要充分理解同構(gòu)思想，爭(zhēng)取把代數(shù)運(yùn)算的難度降低，更加靈活地解決解析幾何問(wèn)題.