“嫦娥奔月”模型問題分類解析

李秀元

(湖北省武穴市實驗高級中學 435400)

2020年12月17日，嫦娥五號返回器攜月球樣品順利安全著陸，標志著我國探月工程取得了階段性勝利，為進一步求索寰宇開創了新的篇章.在“圓與方程”一章里，有一道精典習題，構圖形如“嫦娥奔月”完美結構，讓我們也有了在紙上對圓一探究竟的沖動.

1 “嫦娥奔月”模型

已知直線l與圓C相離，過直線l上任意一點P，作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，如圖1所示.圓C猶如一輪圓月，直線l上任意點P猶如嫦娥上下翻飛，兩條切線猶如其伸出的雙臂，狀如飛天攬月的構圖，給人以無窮遐想，我們將其界定為“嫦娥奔月”模型.

圖1

2 探索“嫦娥奔月”模型

“嫦娥奔月”模型本質上就是直線與圓相離，它究竟能解決哪些問題呢？我們以例題的形式，循序漸進地帶領大家完成七大探究工程.

2.1 切線長的最小值問題

例1已知點P是直線l：x+3y-12=0上的一點，過點P作圓N：(x-2)2+y2=1的切線，切點為A，求切線段|PA|的最小值.

分析由于直線l與圓N相離，點P移動切點A隨之移動，感覺當點P離圓N最近時，所作切線取得最小值.將這種感覺數量化，實質上就是將兩個動點間的距離，動中取定，轉換成數學常見最值問題.

圖2

所以切線段|PA|的最小值為3.

小結借助勾股定理，利用定圓半徑，將兩動點間的距離轉化成定點(圓心)與直線上動點間的距離，進而利用點到直線的距離公式，完成計算.

2.2 切點四邊形面積的最小值問題

我們把圓外一點、兩個切點及圓心這4點圍成的四邊形稱為切點四邊形.

例2已知圓M：x2+(y-2)2=1，直線l：x-3y=0，點P在直線l上，過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B，如圖3.

圖3

(1)若∠APB=60°，求點P的坐標；

(2)求四邊形PAMB面積的最小值及此時點P的坐標.

解析因為點P在直線x-3y=0上，設P(3m,m).

(1)由已知，得圓心M(0,2)，半徑r=1.

又∠APB=60°，所以|MP|=2|MA|=2.

(2)顯然，四邊形PAMB面積等于Rt△PAM面積的2倍，即|PA|×|AM|.因此，當|PA|取最小值時，四邊形PAMB面積最小.

因為PA2=PM2-MA2=PM2-1，

所以當|PM|最小時，|PA|取最小值.

2.3 切點弦的最小值問題

連接圓的兩個切點所得線段稱為圓的切點弦.

例3若點P為直線x-y+4=0上的一個動點，從點P引圓C：x2+y2-4x=0的兩條切線PM，PN，切點為M，N，求弦|MN|的最小值.

分析點P離圓C由遠及近，又由近及遠，點P對圓C的張角，隨點P的移動先增大后減小，猜測當點P離圓C最近時，切點弦最短.

解析由x2+y2-4x=0，得(x-2)2+y2=4.

從而C(2,0).如圖4，連接PC，則PC⊥MN，且PC平分MN，設交點為Q.

圖4

要使|MN|最小，則|MQ|也最小.

由直角三角射影定理，得MC2=|CQ|×|CP|.

可以看到，圓的切點四邊形面積和切點弦長度問題最終都轉化為圓的切線長問題，且當圓心與點P的連線垂直于直線時，分別取得最小值.

2.4 定點對應的切點弦方程問題

例4 已知⊙M：x2+y2-2x-2y-2=0，直線l：2x+y+2=0，P為l上的動點.過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為____.

分析如圖5所示，顯然有PM⊥AB，因此|PM|·|AB|表示四邊形PAMB的面積，也即△PAM面積的2倍.要使△PAM面積最小，則|PA|需取得最小值，由例2可知，此時PM⊥l，只需要求出點P的坐標即可.

圖5

即點P坐標為(-1,0).

以PM為直徑的圓的方程為(x+1)(x-1)+y(y-1)=0.即x2+y2-y-1=0.

即直線AB的方程為2x+y+1=0.

歸納一般地，點P(x0,y0)為圓(x-a)2+(y-b)2=r2外一點，則過點P所作切線，切點弦方程為(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.

2.5 定直線上動點對應的切點弦過定點問題

(1)若直線l與圓C相交，求k的取值范圍；

(2)若k=1，點P是直線l上一個動點，過點P作圓C的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N，證明：直線MN恒過定點.

又點P(x0,y0)在直線y=x-1上，故y0=x0-1.

2.6 定直線上動點對應的切點弦中點的軌跡方程

例6 已知A(-4,0)，B(0,4)，圓O：x2+y2=4.過直線AB上任一點P作圓O的兩條切線，切點分別為C,D，M為線段CD的中點，求|AM|的最大值.

分析要求|AM|的最大值，先得知道動點M的軌跡是什么圖形，這樣才能將兩點間的距離問題轉化成定點與定曲線上動點間的距離.

解析設M(x,y)，直線AB的方程為y=x+4，由例5知，直線CD恒過定點N(-1,1).

如圖6，顯然有OM⊥CD，即OM⊥MN.

圖6

2.7 定直線上動點對應的切點四邊形外接圓過定點問題

例7已知圓M：x2+(y-2)2=1，點P是直線l：x+2y=0上的一個動點.過點P作圓M的切線PA,PB，切點為A,B.

(2)若△PAM的外接圓為圓N，試問：當點P運動時，圓N是否過除點M外的定點？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

(2)設P(-2b,b)，△PAM的外接圓N是以PM為直徑的圓，其方程為

整理,得(2x-y+2)b+(x2+y2-2)=0.

圖7