例談累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的求解策略

江中偉

(廣東省梅州市虎山中學(xué) 514299)

利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式是很常用的一種方法，但在教學(xué)中學(xué)生實(shí)際上掌握得并不是很理想.根據(jù)本人的教學(xué)實(shí)踐，本文把累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法細(xì)化，分門別類，總結(jié)類型和方法.對于an-an-1=f(n)(n≥2)，利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1)，把它總結(jié)為六種類型及對應(yīng)的求解方法.

1 常規(guī)型

例1 在數(shù)列{an}中，已知a1=2，an+1-an=2n(n∈N*),則a50=____.

分析由an+1-an=2n，得

a2-a1=2×1，

a3-a2=2×2，

a4-a3=2×3，

……

an-an-1=2(n-1)(n≥2)，

以上n-1個式子相加可得

又a1=2，所以an=n2-n+2(n≥2).

故a50=2500-50+2=2452.

例2 在數(shù)列{an}中，已知a1=2，an+1-an=2n(n∈N*)，則a9=____.

分析由a1=2，an+1-an=2n可得

a2-a1=2，

a3-a2=22，

a4-a3=23，

……

an-an-1=2n-1(n≥2)，

以上n-1個式子相加可得

an-a1=2+22+23+…+2n-1=2n-2.

所以an=2n-2+a1=2n.

故a9=29=512.

點(diǎn)評是否能利用累加法，首先要看能否將數(shù)列的遞推公式整理成an-an-1=f(n)(n≥2)，或者an+1-an=f(n)的形式，其次還要用到等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

2 換元型

例3 在數(shù)列{an}中，已知a1=13，(n+1)an+1-nan=2n+1(n∈N*)，則下列說法正確的是( ).

A.an+1≥an

B.an+1≤an

C.數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a3和a4

D.數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a3和a4

從而可得a1>a2>a3=a4

點(diǎn)評本題考查構(gòu)造新數(shù)列，運(yùn)用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及運(yùn)用作差法判斷差的正負(fù)得出數(shù)列的增減性，這是利用換元等差累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式.

利用累加法得

=b1+lnn.

當(dāng)n=1時a1=2也適合上式，

故an=2n+nlnn(n∈N*).

點(diǎn)評本題考查構(gòu)造新數(shù)列，運(yùn)用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，這是利用換元對數(shù)累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式.

3 裂項(xiàng)型

利用累加法可得

4 同除裂項(xiàng)型

所以數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

因此當(dāng)n=1時,bn即nan的最小值為1.

點(diǎn)評對已知式子如何變形是解題的關(guān)鍵，本題抓住等式兩邊同除以anan+1后，再裂項(xiàng)利用累加法求解，這是同除裂項(xiàng)累加型求數(shù)列通項(xiàng)公式.

分析兩邊同時除以n(n+1)anan+1可得

點(diǎn)評本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，合理利用“裂項(xiàng)法”和“累加法”求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，這是雙同除系數(shù)裂項(xiàng)累加型求數(shù)列通項(xiàng)公式.

5 奇偶正負(fù)討論累加型

例9 在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=an+(-1)nn(n∈N*)，則a20=____.

分析由已知可得，當(dāng)n為奇數(shù)時，則an+1-an=-n；當(dāng)n為偶數(shù)時，則an+1-an=n.

利用累加法可得a20-a1=-1×9+(-1).

即a20=-9.

6 累加型綜合難題

例10 在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2n-1+2a2n=1-22n-1，2a2n+a2n+1=1+22n(n∈N*)，求a2n-1.

故a2n-1=22n-1-1.

點(diǎn)評此題的難點(diǎn)是從已知條件中找到關(guān)系式：a2n+1-a2n-1=22n+22n-1=3×22n-1，然后利用累加法即可求解.

在例習(xí)題教學(xué)中要使學(xué)生真正理解和掌握解題方法，教師必須選擇有代表性的例習(xí)題，分門別類，舉三反一，幫助學(xué)生歸納總結(jié)解題方法，學(xué)生才能做到舉一反三，把方法弄懂弄透，提高解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).