一個不等式的發現及其應用舉例

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學 241000)

1 問題的提出

在近些年的高考和各類模擬考中，頻繁出現與lnx，ex有關的雙變量問題，這類問題的常用解法是構造函數將雙變量問題轉化為單變量問題，處理方法有比值代換或差值代換，但是過程繁瑣，技巧性強，運算量大，學生不易掌握.文[1]介紹了對數均值不等式，使得關于lnx的雙變量問題難度降低，為解決該類問題提供了新思路和新方法，但是關于ex的雙變量問題怎么辦呢？筆者通過研究，發現由對數均值不等式可以得到一個關于ex的不等式鏈，可以用其解決一類關于ex的雙變量問題.

2 指數均值不等式的介紹

3 指數均值不等式的應用舉例

3.1 在函數零點問題中的應用

例1已知函數f(x)=2ex-x2-ax.若f(x1)=f(x2)，且2x0=x1+x2，問：函數f(x)在點(x0,f(x0))處的切線是否與x軸平行？

解析由題意，得

函數f(x)求導得

f′(x)= 2ex-2x-a.

則f′(x0)=2ex0-2x0-a<0.

故函數f(x)在點(x0,f(x0))處的切線不與x軸平行.

3.2 在比較大小問題中的應用

由指數均值不等式可得

評注該題是2013年陜西高考理科數學的壓軸題，若考生在備考階段學習過指數均值不等式，考場上便可信手拈來.

3.3 在證明不等式問題中的應用

例3已知函數f(x)=xe-x(x∈R).如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2>2.

解析由題知x1e-x1=x2e-x2.

由分式的和比、差比性質,得

故x1+x2>2.

例4已知f(x)=ex-mx.若x1,x2(x12.

解析由題知ex1-mx1=ex2-mx2=0.

評注例3是2010年天津高考理科數學的壓軸題，例4是2018 年全國高中數學聯賽福建省預賽第 14 題，兩道題官方給出的參考答案是采用對稱化構造函數的方法證明，難度大，對學生思維要求高，考生不易解答，但是該題利用指數均值不等式可以快速解答，過程簡潔自然，給人耳目一新的感覺.

3.4 在求參數范圍問題中的應用

解析由題意，得

不妨設x1

評注該題運用指數均值不等式的右邊恰到好處地放縮了原不等式，快速地獲得了關于參數k的不等關系，簡潔地求得了k的取值范圍.

例6已知函數f(x)=x2+ax+1，g(x)=ex(其中e為自然對數的底數).若對任意x1,x2∈[0,2](x1≠x2),不等式|f(x1)-f(x2)|<|g(x1)-g(x2)|均成立, 求實數a的取值范圍.

即|(x1-x2)(x1+x2+a)|<|ex1-ex2|.

不妨設0≤x1

即-et-2t≤a≤et-2t.

設m(t)= -et-2t，φ(t)=et-2t，

易知m(t)在(0,2)上單調遞減，

則m(t)

求導得φ′(t)=et-2.

易得φ(t)在(0,ln2)上單調遞減，在(ln2,2)上單調遞增.

則φ(t)≥φ(ln2)=2-2ln2.

故-1≤a≤2-2ln2.

本文利用指數均值不等式給出了上述六道與ex有關的雙變量問題的簡便解法，讓讀者感受指數均值不等式的妙用，但是任何一種方法都有其局限性，我們在日常的學習中，要結合自身掌握程度和實際情況，選擇最佳的解題方法，不可一味追求某一種解法，要學會從不同解法中汲取不同的數學思想，從而提高自身的數學核心素養與解題能力.