解析幾何中非對稱式的應對策略
——一道橢圓題的探究

袁文娟

(江蘇省張家港中等專業(yè)學校 215600)

在解析幾何中，經常涉及直線與二次曲線的交點問題，在計算過程中往往要用到二次方程的根與系數的關系，且相應的目標式子中會出現關于兩個交點的橫(或縱)坐標x1，x2(或y1，y2)的和或積的式子(往往是關于x1，x2(或y1，y2)對稱的)，此時只要利用二次方程的根與系數的關系將其代入即可解決問題．然而在解析幾何中，也會出現相關的目標式子不是簡單的關于x1，x2(或y1，y2)的和或積的對稱式子，也就是出現了非對稱的形式，此時就不能通過簡單的代換來解決.

1 問題呈現

(1)求C的離心率；

2 問題解決

2.1 第(1)問解析

2.2 第(2)問解析

(m2+3)y2+2my-3=0.

由根與系數的關系,得

②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為x=my+1，m≠0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y2<0

(m2+3)y2+2my-3=0.

由根與系數的關系,得

設直線l的方程為x=my+1，m≠0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y2<0

所以tx1y2+2ty2=x2y1-2y1，

①

x1y2-2y2=tx2y1+2ty1.

②

由①+②,得

(t+1)x1y2+2(t-1)y2=(t+1)x2y1+2(t-1)y1.

當t=-1時，得y2=y1，不合題意，舍去；

3 規(guī)律升華

探究1根據以上解析幾何中的非對稱式問題的不同視角分析與解決，進一步拓展與升華，可以將問題歸納為以下一般性的結論.

探究2以上結論1中對應的點P在橢圓中，其實，其點在x軸上非橢圓的頂點即可，一樣可以得到相應的定值問題.

4 教學啟示

4.1 圓錐曲線中定值問題的特點及兩大解法

4.1.1 特點：待證幾何量、關系式等不受動點或動直線的影響而有固定的值；

4.1.2 兩大解法：

(1)從特殊位置、特殊值等情況入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；

(2)引入變量法，其解題流程為：

4.2 解析幾何中非對稱式的應對策略與技巧

整體代換法在解決解析幾何問題時，可以將一些代數式(乘積、和式、差式等)作為一個整體來處理，在運算過程中加以合理代換，整體應用，是解決解析幾何中非對稱式中的一個常用技巧；

特值驗證法其實就是特殊到一般法，根據特殊位置、特殊值等確定特殊情況下所求的幾何量、關系式所對應的情況，再從特殊情況向一般情況來驗證，推廣到一般情況來展開與應用；

設而不求法凡是不必直接計算就能更簡潔地解決問題時，對于解析幾何中的一些幾何量、關系式所對應的情況，都盡可能實施“設而不求”，在這個過程中不可避免地要設參、消參，而設參的原則是宜少不宜多；

引入參數法引入幾何量、關系式所對應的部分為參數表示變化量，逆向思維，主次交換，通過直線與圓錐曲線的關系加以變形與轉化，將該參數作為常數代入題中加以推理，進而借助待定系數法來分析與應用.

當然碰到具體問題時，還有其他相關破解技巧與應對策略，關鍵是正確把握題目內涵，抓住問題實質，借助相應的技巧方法加以分析與應用，養(yǎng)成良好的解題習慣，全面優(yōu)化解題品質，提升解題能力.