一道2022年全國高中數學聯賽預賽試題的幾種解法

石秀成

(江蘇省句容高級中學 212400)

1 試題呈現

這是2022年全國高中數學聯賽重慶預賽試題的第7題，考查解析幾何問題中的直線與圓、圓與圓的綜合，屬于高考難度，解答起來倒并不困難，但細品之下，本題可以從代數視角和幾何視角等多個角度思考，解法多樣，各具特色，因此本文從這些角度進行了一題多解，與讀者共享.

2 解法探究

解法1(代數法)由題意聯立，得

又點A在第一象限，所以A(1,1).

因此設直線CD:y-1=k(x-1)，

即kx-y+1-k=0.

解得k=5或1.

解法2 (參數方程法)由題意聯立，得

又點A在第一象限，所以A(1,1).

解得點C對應的參數為

t1=-2(cosα+sinα).

同理可得點D對應的參數為

t2=2(2cosα-sinα).

即-2(cosα+sinα)=4(2cosα-sinα).

解得tanα=5.

故k=5.

圖1

所以D為AC的中點.

因為AC是圓O1的弦，

所以O1D⊥AD.

則以AO1為直徑的圓(設圓心為O3)與圓O2相交于A，D兩點.

由平面幾何知識可知AC為兩圓的根軸.

即AC⊥O2O3.

又O1(0,0)，A(1,1)，O2(3,0)，

評注本解法從形的角度入手，首先通過垂直關系發現隱圓O3，進而通過平面幾何知識觀察出AC是圓O2和O3的根軸，借助根軸的性質可知AC⊥O2O3，而兩圓的圓心坐標是顯然的，因此直線AC的斜率是易得的. 本解法充分挖掘了條件的幾何關系，以形顯數，從形上揭示了幾何問題的本質，過程簡潔明了.

所以D為AC的中點.

設D(x0,y0)，取AD中點為M，由A(1,1)和D(x0,y0)，可得

因為O1D⊥AC和O2M⊥AC，

又kCD·kO1D=-1，所以kCD=5.

評注本解法將幾何法和代數法融于一體，首先由垂直和平行的幾何關系得以建立代數恒等式，再通過代數運算的化簡得到參數之間的關系，進而達到求解問題的目標，這個過程深刻體現了數形結合的思想.

3 試題推廣

又點A在第一象限，所以A(1,1).

代入圓O1得t2+2t(cosα+sinα)=0.

解得點C對應的參數為

t1=-2(cosα+sinα).

同理可得點D對應的參數為

t2=2(2cosα-sinα).

即-2(cosα+sinα)=2λ(2cosα-sinα).

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”由此可見數形結合的重要性，而解析幾何的本質就是運用坐標法研究幾何問題，因此兼具數與形的特征，所以在解決此類問題時要注重幾何直觀與方程運算的結合，多角度分析問題、解決問題.

本題的一題多解彰顯了數學思維的無限魅力，強調了對知識的融會貫通和方法的靈活運用的重要性，不管是對競賽學生，還是廣大高考學生都大有裨益，特別是在新課標、新高考評價體系的背景下，基于題海戰術的刷題應試在高考中已不再有效，更加強調思維的靈活性和知識的綜合運用性，而一題多解能夠幫助學生們打破思維的定勢，鍛煉思維的靈活性和認知的深度，進而達到提升學生的核心素養和關鍵能力的目標. 通過一題多解變式推廣，認清了問題的本質，以不變應萬變，提高了學習的效率，也是立足“雙基”、服務“雙減”政策的有效手段.