一道新高考解析幾何試題的拓展探究

余業兵

(重慶市西南大學附屬中學校 400700)

1 試題呈現

圖1

(1)求C的方程.

2 試題解析

由韋達定理，得

又因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

所以k1+k2=0.

故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

化簡整理,得(16cos2θ1-sin2θ1)t2+(16cosθ1-2sinθ1)t-(m2+12)=0.

因為|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，

所以cos2θ1=cos2θ2.

所以cosθ1+cosθ2=0.

所以θ1+θ2=π.

故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

探究1 這里的“斜率之和為零”是一般性規律嗎？如果是，它需要滿足什么條件？與哪些要素有關系？

證明設直線AB和直線CD相交于點T，若點T在圓外，由圓冪定理知

|TA|·|TB|=|TC|·|TD|.

設點T的坐標為(m,n)，直線AB的傾斜角為θ1，直線CD的傾斜角為θ2.

代入b2x2-a2y2=a2b2，得

b2(m+tcosθ1)2-a2(n+tsinθ1)2=a2b2.

整理為(b2cos2θ1-a2sin2θ1)t2+(2mb2cosθ1-2na2sinθ1)t+b2m2-a2n2-a2b2=0.

因為A,B,C,D四點共圓，

所以|TA|·|TB|=|TC|·|TD|.

所以cos2θ1=cos2θ2.

所以θ1+θ2=π.

所以kAB+kCD=0.

探究2結論1的逆命題成立嗎？即反過來，“kAB+kCD=0”一定有“A,B,C,D四點共圓”嗎？

答案是肯定的，我們有如下結論：

證明設點T的坐標為(m,n)，直線AB的斜率為k1，直線CD的斜率為k2,直線AB的方程為y-n=k1(x-m).

同理可得

因為直線AB和直線CD的斜率為0，

所以|TA|·|TB|=|TC|·|TD|.

由圓冪定理逆定理知，雙曲線上四點A,B,C,D四點共圓.

探究3 這個等價命題在橢圓和雙曲線中也成立嗎？

類似地，大家不難證明以下結論成立.

結論4 一般地，若A,B,C,D是拋物線E:y2=2px(p>0)上的任意四個不同點，若直線AB和直線CD的斜率都存在，則“直線AB和直線CD的斜率之和為0”與“A,B,C,D四點共圓”等價.

就像這道高考試題一樣，很多看似普通的數學題目背后常常蘊含了深刻的規律性，對題目的深入思考與探究不僅可以讓我們厘清題目背后的邏輯規律、來龍去脈，更可以開闊視野，拓展思維，從而站得更高，看得更明，窺見整個全局.這就是數學探究的魅力所在！