曼哈頓距離及其應(yīng)用

張 君

(四川省溫江中學(xué) 611130)

1 曼哈頓距離

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)為平面上兩點(diǎn)，則定義|x2-x1|+|y2-y1|為“折線距離”“直角距離”或“曼哈頓距離”，記作d(P,Q)=|x2-x1|+|y2-y1|.

曼哈頓距離的幾何意義：如圖1，點(diǎn)P(x1,y1)在以Q(x2,y2)為中心的正方形(對角線平行于坐標(biāo)軸)上，點(diǎn)P到點(diǎn)Q的曼哈頓距離為正方形對角線長的一半.

圖1

2 兩個重要結(jié)論

證明當(dāng)|A|>|B|時，則有

d(P,Q)=|x-x0|+|y-y0|

證明設(shè)P(x0,y0)，則Ax0+By0=-C1.利用結(jié)論1可知

3 曼哈頓距離的應(yīng)用

例1(2006年福建卷理科)對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)，定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．給出下面三個命題：

①若點(diǎn)C在線段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||；

②在△ABC中，若∠C=90°，則||AC||2+||CB||2=||AB||2；

③在△ABC中，||AC||+||CB||>||AB||．

其中真命題的個數(shù)為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

解析可以驗(yàn)證本題中定義的距離||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|符合距離公理的三條規(guī)則：非負(fù)性和對稱性容易驗(yàn)證，對于三角形不等式，設(shè)C(x0,y0)，有||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||，

當(dāng)且僅當(dāng)x1≤x0≤x2且y1≤y0≤y2時，等號成立．

于是可知，①正確，③錯誤；②中結(jié)論是歐氏距離下的勾股定理，舉特例發(fā)現(xiàn)在本題的“距離”下將不再成立．

綜上，真命題只有①，故選B．

例2 (2014年福建卷文科)在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)間的“L-距離”定義為‖P1P2‖=|x1-x2|+|y1-y2|，則平面內(nèi)與x軸上兩個不同的定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L-距離”之和等于定值(大于‖F(xiàn)1F2‖)的點(diǎn)的軌跡可以是( ).

解析設(shè)F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，動點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的“L-距離”之和等于2m(m>c>0).則‖MF1‖+‖MF2‖=2m.

即|x+c|+|x-c|+2|y|=2m.

對x分類討論如下：

當(dāng)x≤-c時，有-x-c+c-x+2|y|=2m，x-|y|+m=0(該式蘊(yùn)含x≥-m)，即x±y+m=0；

當(dāng)-c

當(dāng)x≥c時，有x+c+x-c+2|y|=2m，x+|y|-m=0(該式蘊(yùn)含x≤m)，即x±y-m=0．

畫出以上三種情形的圖象，可知正確選項(xiàng)為A．

解析由結(jié)論1可得

解法1(主元函數(shù)法)以點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為主變量y，則|x2-x1|+|y2-y1|=|8-2y2-x1|+|y2-y1|，令f(y)=|8-2y-x1|+|y-y1|，則該函數(shù)的圖象是一條線段和兩條射線組成的開口向上的“楔形”.

由圖象可知其最小值只能在圖象連接點(diǎn)(即在這兩個一次絕對值函數(shù)的兩個零點(diǎn))處取得.

問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上的點(diǎn)P到直線x+2y-8=0距離的最小值.

所以f(y)min=2.

所以d(P,Q)min=2.

例5 (2018年浙江聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x2+b|，x∈[0,1]，設(shè)f(x)的最大值為M，若M的最小值為1，則a的值可以是( ).

解法1因?yàn)閨x+a|+|x2+b|≥|x2+x+a+b|，|x+a|+|x2+b|≥|x2-x-a+b|，

4.2.1 建立健全醫(yī)療糾紛機(jī)制提高從醫(yī)信心。針對醫(yī)患關(guān)系緊張對醫(yī)學(xué)生從業(yè)信心的影響，需要多角度進(jìn)行改進(jìn)，要不斷建立健全醫(yī)療糾紛機(jī)制，為解決醫(yī)患關(guān)系找到合理的路徑，通過有效的途徑解決醫(yī)療過程產(chǎn)生的糾紛，緩解醫(yī)患矛盾，提高從醫(yī)者的信心。

故M≥|x2+x+a+b|，M≥|x2-x-a+b|.

由于函數(shù)y=x2+x+a+b在[0,1]上單調(diào)遞增，所以|x2+x+a+b|的最大值在端點(diǎn)處取到，其最大值為max{|b+a|,|2+b+a|}；

解法2題中f(x)=|x+a|+|x2+b|可視為P(x,x2)和Q(-a,-b)兩點(diǎn)之間的曼哈頓距離，其最大值M表示以Q(-a,-b)為中心，恰能把整段曲線(y=x2,x∈[0,1])包住的正方形對應(yīng)的曼哈頓距離.M的最小值為1，這就意味著，以Q為中心且最小對角線長為2的正方形可以包住整段曲線.移動正方形可以得到中心Q的軌跡，其對應(yīng)橫坐標(biāo)相反數(shù)的取值范圍即是a的取值范圍.

圖2

易得Q2(1,0).

例6 (原創(chuàng)題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義d(P,Q)=|x2-x1|+|y2-y1|為P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn)之間的“折線距離”.在這個定義下，給出下列命題：①到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合是一個正方形；②到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合是一個圓；③到兩點(diǎn)的“折線距離”之和為4的點(diǎn)的集合是面積為6的六邊形；④到兩點(diǎn)的“折線距離”之差為1的點(diǎn)的集合是兩條平行線.

其中正確的命題是____.

解析答案是①③④.設(shè)O為原點(diǎn)，P(x,y)，則d(O,P)=|x-0|+|y-0|=1，即點(diǎn)P的軌跡方程是|x|+|y|=1，這是四條線段圍成的正方形(圖3),故①正確，②錯誤.

圖3 圖4 圖5

對于③，由定義得點(diǎn)P(x,y)滿足|x-1|+|x+1|+2|y|=4，通過分段畫圖可知其圖象是邊長為2的正六邊形(圖4)，其面積為6，故③正確.

例7 (多選題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，定義d(P,Q)=|x2-x1|+|y2-y1|為P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點(diǎn)之間的“哈曼頓距離”，則下列說法正確( ).

A.若點(diǎn)C在線段AB上，則有d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)

B.若A,B,C是三角形的三個頂點(diǎn)，則有d(A,C)+d(C,B)>d(A,B)

D.若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足d(O,P)=1，則點(diǎn)P所形成圖形的面積為2

解析若C在線段AB上，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0,y0)，則x0在x1,x2之間，y0在y1,y2之間.所以d(A,C)+d(C,B)=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=d(A,B)，故A正確.

在△ABC中d(A,C)+d(C,B)=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=d(A,B)，故B選項(xiàng)錯誤.