以多項式相乘為背景設計的求值問題

葛中梁

多項式與多項式相乘，在未合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積. 只要同學們計算時按一定的順序進行，不僅可以做到不重不漏，還可以順利解決以多項式相乘為背景設計的求值問題.

一、乘積中不含二次項、三次項的問題

例1 已知多項式[x2+nx+3]與[x2-3x+m]的乘積中不含有[x2]和[x3]項，求[（m+n）（m2-mn+n2）]的值.

解析：[（x2+nx+3）（x2-3x+m）? ][ =? x4+? （n-3）x3+（m-3n+3）x2+（mn-9）x+3m.]

[∵]多項式[x2+nx+3]與[x2-3x+m]的乘積中不含有[x2]和[x3]項，

[∴n-3=0]，[m-3n+3=0]，[∴m=6]，[n=3]，

則[（m+n）（m2-mn+n2）] [=（6+3）×（62-6×3+32）=243].

例2 已知[（x2+mx-3）（2x-n）]的展開式中不含[x2]項，常數項是[-6]. （1）求[m]，[n]的值；（2）若[a3=m]，[b3=n]，求[（a+b）（a2-ab+b2）]的值.

解析：（1）（x2 + mx -3）（2x - n） [=2x3+2mx2-6x-nx2-mnx+3n ][=2x3+? （2m-n）x2-（mn+6）x+3n]，

根據展開式中不含[x2]項，常數項是[-6]，可得方程[2m-n=0]且[3n=-6]，

解得[m=-1]，[n=-2]；

（2）[（a+b）（a2-ab+b2）] [=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3]

[=a3+b3] [=m+n ][=-1-2] [=-3].

反思：解題的關鍵是運用多項式乘法法則展開，合并同類項后，令不含有的項的系數為零，轉化為含字母系數的方程，從而求值.

二、抄錯多項式中的運算符號與字母的問題

例3 在計算[（x+a）（x+b）]時，甲把[b]錯看成了6，得到結果是[x2+8x+12]. 求出[a]的值.

解析：[（x+a）（x+6）][ =x2+6x+ax+6a][ =x2+（6+a）x+6a]，

因為其結果是[x2+8x+12]，所以對應項的系數一定相等，可列出方程[6+a=8]，或[6a=12]，解得[a=2].

例4 小剛同學計算一道整式乘法：[（3x+a）（2x-3）]，由于他抄錯了多項式中[a]前面的符號，把“[+]”寫成“[-]”，得到的結果為[6x2+bx+12]. （1）求[a]，[b]的值；（2）計算這道整式乘法的正確結果.

解析：（1）由題意得[（3x-a）（2x-3）=] [6x2-（2a+9）x+3a=6x2+bx+12]，

[∴][- （2a+9）=b]，[3a=12]，[∴a=4]，[b=-17]；

（2）[（3x+4）（2x-3） ][=6x2-9x+8x-12][ =6x2-x-12].

反思：解題的關鍵是“將錯就錯”，利用多項式乘多項式的法則計算，再與給出的結果比較，根據“對應項系數相等”列所求字母的方程，即可獲得答案.

三、新定義的特征多項式的乘積問題

例5 給出如下定義：我們把有序實數對[（a]，[b]，[c）]叫做關于[x]的二次多項式[ax2+bx+c]的特征系數對，把關于[x]的二次多項式[ax2+bx+c]叫做有序實數對[（a]，[b]，[c）]的特征多項式. （1）關于[x]的二次多項式[3x2+2x-1]的特征系數對為 ；（2）求有序實數對[（1]，4，[4）]的特征多項式與有序實數對[（1]，[-4]，[4）]的特征多項式的乘積；（3）若有序實數對[（p]，[q]，[-1）]的特征多項式與有序實數對[（m]，[n]，[-2）]的特征多項式的乘積的結果為[2x4+x3-10x2-x+2]，直接寫出[（4p-2q-1）（2m-n-1）]的值為.

解析：（1）根據“有序實數對[（a]，[b]，[c）]的特征多項式”的意義可知：

關于[x]的二次多項式[3x2+2x-1]的特征系數對為[（3]，2，[-1）]；

（2）[∵]有序實數對（1，4，4）的特征多項式為[x2+4x+4]，

有序實數對[（1]，[-4]，[4）]的特征多項式為[x2-4x+4]，

[∴（x2+4x+4）（x2-4x+4）= ][（x2+4）2-（4x）2=x4+8x2+16-16x2=x4-8x2+16]；

（3）根據特征多項式的定義可得[（p]，[q]，[-1）]的特征多項式為[px2+qx-1]，

[（m]，[n]，[-2）]的特征多項式為[mx2+nx-2]，

根據題意得[（px2+qx-1）（mx2+nx-2）=2x4+x3-10x2-x+2]，

令[x=-2]，則[（4p-2q-1）（4m-2n-2）=32-8-40+2+2][=-12]，

觀察求值式的系數，將上式兩邊都除以2，可得[（4p-2q-1）（2m-n-1）=-6].

反思：理解并掌握有序實數對[（a]，[b]，[c）]的特征多項式是解決本題的關鍵. 在問題（3）中求值時，根據系數的特征巧妙利用整體思想，對恒等式中的x賦予特殊值[-2]，起到了化難為易的作用.

（作者單位：江蘇省鹽城市鹽都區實驗初級中學）