整式乘法中考題賞析

楊金林

在近年的中考試題中，出現了一些與整式的乘法有關的創新題型，這些試題設計新穎，重在考查觀察能力、探索能力和歸納概括能力. 現舉例說明.

一、規律性問題

例1 （2022·安徽）觀察以下等式：

第1個等式：（2 × 1 + 1）2 = （2 × 2 + 1）2 - （2 × 2）2 ，

第2個等式：（2 × 2 + 1）2 = （3 × 4 + 1）2 - （3 × 4）2 ，

第3個等式：（2 × 3 + 1）2 = （4 × 6 + 1）2 - （4 × 6）2 ，

第4個等式：（2 × 4 + 1）2 = （5 × 8 + 1）2 - （5 × 8）2 ，……

按照以上規律. 解決下列問題：

（1）寫出第5個等式：；

（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明.

解析：（1）觀察4個等式中相同位置數的變化規律，

可得第5個等式：（2 × 5 + 1）2 = （6 × 10 + 1）2 - （6 × 10）2，

故應填（2 × 5 + 1）2 = （6 × 10 + 1）2 - （6 × 10）2.

（2）猜想：第n個等式為（2n + 1）2 = [（n + 1）·2n + 12] - [（n + 1）·2n2].

證明：等式左邊：（2n + 1）2 = [4n2+4n+1]，

等式右邊：[（n+1）·2n+12-（n+1）·2n2]

[=（n+1）·2n+1+（n+1）·2n·（n+1）·2n+1-（n+1）·2n]

[=] [（n+1）·4n+1×1][=4n2+4n+1]，

因此，[2n+12=（n+1）·2n+12-（n+1）·2n2]成立.

二、數形結合題

例2? （2022·浙江·寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖1所示不重疊地放置在矩形[ABCD]內，其中矩形紙片和正方形紙片的周長相等. 若知道圖1中陰影部分的面積，則一定能求出（）.

A. 正方形紙片的面積 B. 四邊形[EFGH]的面積

C. [△BEF]的面積 D. [△AEH]的面積

解析：根據題意可知，四邊形EFGH是正方形，

設正方形DMGN的邊長為x，正方形EFGH的邊長為y，

則長方形APHM的寬為x - y，

所以S陰影 = S正方形EFGH? + 2S△AEH + 2S△DHG = [y2+2×12y（x-y）+2×12xy] = 2xy，

根據題意，已知陰影部分的面積也就是已知xy的值，

正方形紙片的面積為x2，無法求出，不符合題意；

四邊形EFGH的面積為y2，無法求出，不符合題意；

[△BEF]的面積為[12xy]，根據已知條件可以求出，所以符合題意；

[△AEH]的面積為[12y（x-y）=xy-y22]，無法求出，不符合題意.

故選 C.

例3 （2022·浙江·金華）如圖2，將長為[2a+3]，寬為[2a]的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖3），得到大小不等的兩個正方形.

（1）用關于a的代數式表示圖3中小正方形的邊長.

（2）當[a=3]時，該小正方形的面積是多少？

解析：（1）∵直角三角形較短直角邊長為[12×2a=a]，

較長直角邊長為[2a+3]，

∴小正方形的邊長[=2a+3-a=a+3]；

（2）S小正方形 = （a + 3）2 = a2 + 6a + 9，

當[a=3]時，S小正方形 = （3 + 3）2 = 36.

分層作業

難度系數：★★★解題時間：3分鐘

若（x - 2）（x2 + ax - 8b）的展開式中不含x的二次項和一次項. （1）求b的值；（2）求（a + 1）（a2 + 1）（a4 + 1）…（a32 + 1） + 1的值. （答案見第33頁）

（作者單位：山東省棗莊市第二中學）