探索規律題型解題錦囊

王雪潔

觀看了許群德老師的直播課，收益頗多. 探索規律題型能夠很好地體現“從特殊到一般，從一般到特殊”的數學思想，這類題在中考試卷中經常出現.

在《三國演義》中，趙子龍用諸葛亮給的三條錦囊妙計護衛劉備和孫夫人安全離開吳地. 現在，我們就效仿他們，用錦囊妙計來解決探索規律題型.

錦囊一：適用于循環周期型變化

找到循環節，總數除以它，重點看余數，猜想后驗證.

例1 已知31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，36 = 729，…那么32022的個位數字是 .

解析：先找到循環節，發現3，9，7，1，3，9，7，1，…每4個為1次循環，題中要求的總數是2022，2022 ÷ 4 = 505……2，由余數為2可猜想結論為9. 驗證一下：32和36的指數除以4所得余數都是2，它們的個位數字也都是9，則猜想的結論正確. 故應填9.

錦囊二：適用于等差數列均勻變化

口算找等差，乘以等差，然后問自己：當n取之后，加減什么數可以得到首項結果，規律通式就寫出來啦！

例2 已知1，3，5，7，9，…則第n項是.

解析：分別計算后一個數與前一個數的差：3 - 1 = 2，5 - 3 = 2，7 - 5 = 2，9 - 7 = 2，…發現差相等且都為2，用項數n乘以2得2n. 當n = 1時，2n = 2 × 1 = 2，第一項的結果為1，剛才計算出來的2減1即可，所以第n項是2n - 1. 故應填2n - 1. 該式被稱為這組數據的通式，其包含了用字母表示數的數學思想.

錦囊三：適用于差的差為等差數列

八年級階段我們不容易發現其中的規律，只能使用序號法，通過相同的分析思路，寫出每一項具體的式子（這里需要特別注意的是一定不要合并同類項，要保留分析思路），觀察其中規律，可直接觀察或使用等差數列求和公式得出結論. 等到九年級學習二次函數之后，我們就可以代入三點坐標直接求通式了.

例3 在1條線段上增加1個點，共有條線段；增加2個點，共有

條線段；增加3個點，共有條線段；增加4個點，共有條線段；增加10個點，共有條線段.

解析：序號法就是對圖示進行標號，一般情況下在第①個圖中n = 1，在第②個圖中n = 2，依此類推（偶爾也有不從1開始的），然后對應寫出計算式子，通過觀察變化過程中的規律寫出通式.

當n = 1時，1 + 2 = 3；

當n = 2時，1 + 2 + 3 = 6；

當n = 3時，1 + 2 + 3 + 4 = 10；

當n = 4時， 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15；……

我們發現，3，6，10，15，…的差分別為3，4，5，…，

這里的3，4，5雖然不相等，但是4 - 3 = 5 - 4 = 1，所以差的差為等差數列.

從結果中雖然看不出規律，但可以看前面的式子，找出規律：

第1項是從1加到2，第2項是從1加到3，第3項是從1加到4，第4項是從1加到5，

由此可以推測，第n項就是從1加到n + 1，

則[（首項 + 末項） × 項數2] = [（1 + n + 1） × （n + 1）2] =? [（n+2）（n+1）2]，

經驗證，我們的推測正確.

當n = 10時， [（n+2）（n+1）2] = 66.

故應填3，6，10，15，66.

反思：有些同學認為只要計算到1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 = 66，就可以得出結論了，沒有必要寫出通式，費時費力. 其實，“磨刀不誤砍柴工”，在分析這道題的過程中，我們經歷的是從特例到猜想一般規律，再到驗證的過程，這是重要的數學思想. 這種思考問題的方式是我們學習數學的法寶. 因此，解題不能只看結果，流于表面，要深入挖掘命題人想的是什么. 爭取做到：做一題，會一法，通一類.

分層作業

難度系數：★★★解題時間：5分鐘

1. -1，2，5，8，11，…，第n項是 .

2. 觀察砌鋼管的橫截面圖（如圖2），當n = 10時，最下面一排鋼管有根；第n個圖的鋼管總數是根. （用含n的式子表示）

（答案見第33頁）

（作者單位：沈陽市第一四五中學）