二元一次方程的整數解問題探究

吳瓊

沈陽市南昌初級中學任景娜老師的直播課《二元一次方程組及其應用》，選自遼寧教育學院“學到匯”公眾服務平臺“遼寧省初中數學學科教研核心團隊名師公益學堂”，旨在引領教師專業發展，服務學生自主學習，減輕學生學業負擔。

觀看完任景娜老師的直播課，其中的引例引發我進一步思考. 在這里，我和同學們一起從含有參數的一元一次方程的整數解、二元一次方程的整數解、一次函數的整數點這三個角度來看待同一個問題，感受數學模型的無窮魅力.

身邊實例

大連市第三十七中學的吳老師為學生購買數學計算大賽的獎品，回到學校后，向王主任交賬時說：“我買了兩類筆記本，共105本，單價分別為8元和12元，買本前我領取了1400元，現在還剩余318元. ”王主任算了一下說：“你肯定搞錯了. ”

（1）請同學們用方程的知識給予解釋；

（2）吳老師急忙拿出發票，發現多買了1支水筆，但水筆的單價寫得模糊不清，吳老師只記得水筆的價格為小于6的正整數，則這支水筆的單價應該為多少元？

解析：（1）設買8元的筆記本x本、12元的筆記本（105 - x）本，

根據題意列方程：8x + 12 （105 - x） = 1 400 - 318，則x = 44.5（不符合題意），

44.5不是整數，所以吳老師肯定搞錯了.

（2）設買8元的筆記本x本，買12元的筆記本（105 - x）本，1支水筆的單價為a元，

∴1400 - 8x - 12（105 - x） - a = 318，∴x = 44 + [2+a4].

∵x為正整數，且a為小于6的正整數，∴2 + a必須被4整除，∴a = 2.

∴1支水筆的價格為2元.

反思：本題也可以從列出含有a的關于8元筆記本的數量x的一元一次方程的角度求整數解；還可以建立以8元筆記本的數量為函數、水筆的價格為自變量的一次函數關系式，再去尋找一次函數的橫縱坐標的整數點問題. 這三個角度都是設未知數、建立等量關系，其本質是相通的.

變式練習

表1是某次籃球聯賽積分. （1）請問：勝一場積多少分？負一場積多少分？（直接寫出答案）（2）若某隊的勝場總積分是負場總積分的n倍，n為正整數，求n的值.

解析：（1）設勝一場積x分，負一場積y分，則[10x+4y=24，9x+5y=23，]解得[x=2，y=1.]

則勝一場積2分，負一場積1分.

（2）設該隊勝a場，則負（14 - a）場，∴2a = （14 - a）n，∴n = [2a14-a].

當a = 0時，n = 0，不符合題意；

當a = 1，2，3，4，5，6，8，9，11時，n不是整數，不符合題意；

當a = 14時，等式無意義；

當a = 7時，n = 2；當a = 10時，n = 5；當a = 12時，n = 12；當a = 13時，n = 26.

綜上所述，n的值為2，5，12，26.

分層作業

難度系數：★★★解題時間：8分鐘

表2是某校七年級、八年級、九年級某月課外興趣小組（分文藝小組和科技小組）活動時間統計表，其中各年級同一興趣小組每次活動時間相同.

（1）請你完成以下分析，求出a，b的值：觀察表格，七年級、八年級科技小組活動次數相同，文藝小組活動次數相差次，活動總時間相差h，由此可知文藝小組每次活動時間為h，進而可知科技小組每次活動時間為h；根據題意可得a與b的關系式為，因為a與b是自然數，所以a = ，b = .

（2）若學校重新規定：九年級每月課外興趣小組活動總次數為8次，在文藝小組與科技小組每次活動時間保持不變的情況下，求出九年級每月課外興趣小組活動總時間y（h）與文藝小組活動次數x（次）之間的函數關系式（其中規定x為大于1且小于8的自然數）. （答案見第33頁）

（作者單位：大連市第三十七中學）