二元一次方程與一次函數珠聯璧合

周紅雨

二元一次方程與一次函數之間存在對應關系：以一個二元一次方程的解為坐標的點在與之對應的一次函數的圖象上；反之，一個一次函數圖象上的點的坐標一定是與之對應的二元一次方程的解.現舉例說明二者珠聯璧合求解的過程．

一、化一次函數圖象交點為方程組的解進行解題

例1 （2022·浙江·杭州）已知一次函數[y=3x-1]與[y=kx（k]是常數，[k≠0）]的圖象的交點坐標是（1，2），則方程組[3x-y=1，kx-y=0]的解是．

解析：原方程組可化為[y=3x-1，y=kx，]

由一次函數[y=3x-1]與y = kx的圖象的交點坐標是（1，2），

可知原方程組的解為[x=1，y=2.]故應填[x=1，y=2.]

例2 （2022·陜西）在同一平面直角坐標系中，直線y = -x + 4與y = 2x + m相交于點P（3，n），則關于x，y的方程組[x+y-4=0，2x-y+m=0]的解為（）．

A. [x=-1，y=5] B. [x=3，y=1] ? ?C. [x=1，y=3] ? D. [x=9，y=-5]

解析：將點P（3，n）代入y = -x + 4中，得n = -3 + 4 = 1，∴P（3，1），

[∴y=-x+4，y=2x+m]的解為[x=3，y=1.]

∵ [x+y-4=0，2x-y+m=0]可變形為[y=-x+4，y=2x+m，][∴]原方程組的解為[x=3，y=1.]故選B．

二、化二元一次方程的解為一次函數圖象上的點進行解題

例3 （2022·新疆）A，B兩地相距300 km，甲、乙兩人分別開車從A地出發前往B地，其中甲先出發1 h．圖2是甲、乙行駛路程[y甲km]，[y乙km]隨行駛時間[x（h）]變化的圖象，請結合圖象信息，解答下列問題：（1）填空：甲的速度為km/h；（2）分別求出[y甲]，[y乙]與[x]之間的函數解析式；（3）求出點[C]的坐標，并寫出點[C]的實際意義．

解析：點C為兩個一次函數圖象的交點，我們可以先求出這兩個一次函數的表達式，再聯立成二元一次方程組，求出方程組的解，即為交點C的坐標.

（1）甲的速度為[300÷5=60（km/h）]. 故填60.

（2）由（1）可知，[y甲=60x（0

設[y乙=kx+b]，根據題意得[k+b=0，4k+b=300，]解得[k=100，b=-100，]

∴[y乙=100x-100（1

（3）由[y=60x，y=100x-100，]得[x=2.5，y=150，]∴點[C]的坐標為[2.5，150].

點C的實際意義：甲出發2.5 h時，乙追上甲，此時兩人距A地150 km.

例4 （2022·河北）如圖3，在平面直角坐標系中，線段[AB]的端點為[A（-8，19）]，[B（6， 5）]．（1）求[AB]所在直線的解析式；（2）某同學設計了一個動畫：在函數[y=mx+n（m≠0， y≥0）]中，分別輸入[m]和[n]的值，得到射線[CD]，其中[C（c， 0）]. 當[c=2]時，會從[C]處彈出一個光點[P]，并沿[CD]飛行；當[c≠2]時，只發出射線而無光點彈出. ①若有光點[P]彈出，試推算[m]，[n]應滿足的數量關系；②當有光點[P]彈出，并擊中線段[AB]上的整點（橫、縱坐標都是整數）時，線段[AB]就會發光. 求此時整數[m]的個數．

解析：（1）設線段AB所在直線的函數解析式為[y=kx+b]，

則[-8k+b=19，6k+b=5，]解得[k=-1，b=11，]∴[y=-x+11][-8≤x≤6].

（2）①由題意可知射線[y=mx+n]過點（2，0），可得[2m+n=0].

②∵[2m+n=0]，∴[n=-2m]，∴射線CD的解析式為[y=mx-2m].

∴[y=mx-2m，y=-x+11，]∴[m=9x-2-1].

∵射線CD與線段AB交于整點，∴整數m由整數x決定，∴[x-2]是9的約數.

∵[-8≤x≤6]，∴[-10≤x-2≤4]，∴[x-2]的值為-9，-3，-1，1，3.

當x - 2 = -9時，m = -2；當x - 2 = -3時，m = -4；當x - 2 = -1時，m = -10；

當x - 2 = 1時，m = 8；當x - 2 = 3時，m = 2．

符合條件的整數m有5個，分別是-10，-4，-2，2，8.

（作者單位：江蘇省興化市安豐初級中學）